巡回群

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巡回群とは、一つの元で生成される群である。つまり、群 G が巡回群であるとは、次のような g が存在することである。

任意の G の元 x について　x = gⁿ　となる整数 n が存在する。

[編集] 性質

• 巡回群の部分群は巡回群である。
• 巡回群はアーベル群である
• 無限巡回群は、Z と同型である。
• 位数 p の有限巡回群は、Z/pZ と同型である。

[編集] 定理

• 位数が素数の群は、巡回群である。
• p、q が互いに素ならば、位数 p の巡回群と、位数 q の巡回群の直積は巡回群である。

[編集] 表現

位数 n の有限巡回群の巡回グラフは、全要素を頂点に持つ n 角形である。 下記巡回グラフの黒い頂点は単位元を表し、他の頂点は群のその他の元を表す。 巡回は、あらゆる元の連続する冪であって単位元に至るものから構成されている。

Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	Z6	Z7	Z8