強制振動

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強制振動（きょうせいしんどう、forced oscillation）とは、周期的な外力・外場の影響を受けることによって、強制的に引き起こされる振動のことである。運動に対する抵抗を有するエネルギー散逸系において、振動の減衰を補うべく、外部から周期的な外力・外場が与えられることによって、振動が継続される系である。

外力・外場の振動数が系の固有振動数に近いとき、若しくは一致するとき、大きな振動が発生する。この現象を共振または共鳴と呼ぶ。共振が発生する条件は、通常のいわゆる線形振動の範囲ではここに記載の通りで正しい。しかし非線形振動の範囲まで考える特別な場合には、異なる条件のときにも共振が発生する。

一般に強制振動という場合、共鳴や共振を指すことは少ない。しかし、共鳴・共振は強制振動の一種である。

[編集] 強制振動の例題

調和振動子の微分方程式は角振動数 $ω 0$ として、

$\ddot{x}+\omega_0{}^2x=0$

と表される。ただし $\ddot{x}$ は $x$ の時間二階微分である。減衰振動になると、

$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_0{}^2x=0$

となる。これを定数係数の線形2階同次方程式という。この系に周期的な外力

$F=mf\cos{\omega t}\,$

を加えると、強制振動となり、解くべき方程式は、

$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_0{}^2x=mf\cos{\omega t}$

である。この方程式の一般解は特解に同次方程式(A)の一般解を加えたものになる。しかし、同次方程式の解は普通時間とともに減衰してしまうので、十分時間が経過すればこの系は角振動数 $ω$ で振動する特解で記述されることになる。この特解を、

$x=A\cos({\omega t-\delta})=A(\cos{\omega t}\cos{\delta}+\sin{\omega t}\sin{\delta}) \,$

とおいて、定数 $A$ と $δ$ を求める。 $\dot{x}$ と $\ddot{x}$ をそれぞれ計算し、強制振動の微分方程式に代入、整理する。

$\sin{\omega t}\{((\omega_0{}^2 - \omega^2)\sin{\delta}-2\gamma\omega\cos{\delta})A\} + \cos{\omega t}\{((\omega_0{}^2 - \omega^2)\cos{\delta}+2\gamma\omega\sin{\delta})A-f\} =0\,$