微分ガロア理論

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[編集] 動機および基本的考え方

数学において、ある種の初等関数の不定積分は初等関数で表せない。 この様な関数としては、 が良く知られており、その不定積分は、統計学で馴染みの深い誤差関数である。 他の例としては、シンク関数 や x^x 等がある。

初等関数の概念は、単に慣習的なものであることに気付くべきである。 仮に、初等関数の定義に誤差関数を含めれば、その定義の下では の不定積分が初等関数になるのである。 しかし、いわゆる初等関数の定義にいくら沢山の関数を追加しても、その不定積分が初等関数にならない関数が存在する。

微分ガロア理論（びぶんがろありろん、英：differential Galois theory） の理論を用いれば、どの初等関数の不定積分が初等関数で表せないか、決定することができる。 微分ガロア理論は、ガロア理論のモデルを基礎にした理論である。 代数的ガロア理論が体の拡大を研究するのに対し、微分ガロア理論は微分体（びぶんたい、英：differential field）、つまり微分（びぶん、英：derivation）または微分子（びぶんし、differentiation） D を持つ体の拡大を研究する。 微分ガロア理論の殆どは、代数的ガロア理論と類似している。 両者の構成における大きな違いは、微分ガロア理論のガロア群は行列のリー群であり、代数的ガロア理論では多くが有限群である点である。

[編集] 定義

微分 D を有する任意の微分体 F に対し、F の定数体（ていすう、英：constants）と呼ばれる部分体

が存在する。 2 つの微分体 F と G が与えられた場合に、 G が F の単純超越拡大（つまり、ある超越元 t に関し G = F(t)）であって、

を満たすとき、G を F の対数拡大（たいすうかくだい、英：logarithmic extension）という。

これは、対数微分の形式をしている。 直感的には、t をある F の要素 s の対数と考えることができ、この場合、同条件は普通の連鎖律に対応する。 しかし、F には一意的に対数が定まる訳ではないことに注意が必要である。 対数的な多くの F の拡大体を考えることもできる。 同様に、指数拡大（しすうかくだい、英：exponential extension）とは、

を満たす単純超越拡大である。

上記の注意書きを念頭に置き、この要素は F の要素 s の指数と考えることができる。 最後に、F から G へ至る部分体の有限列があり、列の各拡大が代数的、対数的または指数的の何れかであるとき、G を初等微分拡大（しょとうびぶんかくだい、英：elementary differential extension）という。

[編集] 例

1 変数複素有理関数の体 C(x) は、この変数に関する普通の微分により、微分体になる。 この体の定数体は、複素数体 C である。

[編集] 基本定理

F と G は Con(F) = Con(G) を満たす微分体であって、G は F の初等微分拡大だとする。 a ∈ F、y ∈ G、Dy = a （つまり、G は a の不定積分を含む）だとする。 このとき、 c₁, …, c_n ∈ Con(F) と u₁, …, u_n, v ∈ F が存在し、

である。 言い換えると、初等的な不定積分（つまり、不定積分が最悪でも、F の初等微分拡大に含まれる）関数のみが、定理に記す形式を有する。 従って、直感的には、初等的な不定積分のみが、単純な関数と単純な関数の有限個の対数の和になる。