拡散方程式

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拡散方程式（かくさんほうていしき、英語:diffusion equation）は拡散が生じている物質あるいは物理量（本稿では拡散物質と記述）の密度のゆらぎを記述する偏微分方程式である。集団遺伝学における対立遺伝子の拡散のように、拡散と同様の振る舞いをする現象を記述するのにも用いられる。

方程式は一般に以下のように書かれる。

$\frac{\partial\phi}{\partial t} = \nabla \cdot \bigg( D(\phi,\vec{r}) \, \nabla\phi(\vec{r},t) \bigg),$

ただし、 $\, \phi(\vec{r},t)$ は位置 $\vec{r}$ と時刻 $t$ における拡散物質の密度、 $D(\phi,\vec{r})$ は位置 $\vec{r}$ における密度 $φ$ の集団的な拡散係数、ナブラ $\, \nabla$ は空間微分作用素である。拡散係数が密度に依存する場合方程式は非線形となり、そうでなければ線形となる。 $D$ が定数ならば、方程式は以下の線形方程式に帰着される。