数理モデル
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数理モデル（すうりもでる、英: mathematical model）とは、数学によって記述されたモデルのことである。モデルは「模型」と訳されることもある。 数理モデルは、自然科学においてのみではなく、社会科学においても用いられる。数理モデルが用いられている分野を網羅することは難しいと考えられるが、例えば、物理学、工学、生物学、経済学、心理学、計算機科学、生態学、神経科学、分子生物学、免疫学、地球物理学、天文学、電気回路、機械工学、航空工学、気象学、言語学、伝染病感染予測、オペレーションズ・リサーチなどがある。特に、物理学、工学、経済学で盛んである。 近年はコンピュータの性能の向上により、複雑な数理モデルでもそのふるまいをシミュレーションによって見ることができるため、様々な分野で用いられるようになっている。
数理モデルは、対象とする現象や、定式化の抽象度などによって様々なものがある。
目次 |
[編集] 概要
[編集] モデルとは
モデルとは、対象とするシステムを簡略化して、その本質を表したものであり、システムを理解するために用いられる。その意味では、地球のモデルとしての地球儀、建造物のモデルとしての設計図、人生のモデルとしての小説、価値のモデルとしての金銭など様々なものがあげられる。
普通、モデルは現実世界のシステムに対して簡略化されているので、現実のシステムを考察するのに比べてモデルだけを対象として考察を行うことが圧倒的に容易である。モデルが現実のシステムの興味がある部分の性質を残していれば、モデルを考察することによってシステムに対する理解（あるいは解釈）を行うことが可能になったり、現実のシステムのふるまいの予測を行うことができるようになる。例えば、実際に歩き回らなくても、地図を見れば行き方がわかるし、宇宙に出なくても地球の形状や各国の分布を知ることができる。
モデル化とは、興味のある本質を残して対象を大幅に簡略化することにより、理解可能にすることである。対象そのものとは別物であり、簡略化によって必然的に対象の持っている多くの性質を失ったものとなる。例えば、地図上で焼き鳥屋を発見してもいい匂いはしない。しかし、そこに行けばいい匂いがしてくるであろうことを想像することができる。これがモデルの役割である。
[編集] 数理モデル
数理モデルは、特に数学によって記述されたモデルのことである。モデルという言葉に含意されているように、対象とのズレ（特に近似や抽象化）が意識されていることが多い。モデルの正当性が実験や観察などによって裏付けられ、非常にうまく行っている事が確かめられている場合は「理論」と呼ばれるようになることもある。もっとも、「理論」という場合、しばし独自の概念の使用なども含んだより包括的な体系となる。
[編集] 簡単な例
「A君が歩けば歩くほど前に進む。歩幅が広いほど前に進む。」という現象を
- （距離）＝（歩幅）×（歩数）
という数式で表せば、これは数理モデルである。この数理モデルは、積という数学的な概念によって記述されている。このように、現実の対象を数学の中に写像する過程をモデル化という。この数理モデルにおいては、もはやA君が何を話しているのか、どんな表情をしているのか、どちらに向かっているのかといったことは全て捨象されている。しかし、この式を数学的に扱うことは、A君の歩く様子を眺めるよりは極めて容易であり、数学における知見により、例えば、歩幅が50cmで1000歩歩いたら500 m進むということがわかる。また、10 km歩いてきたA君の疲労困憊した顔を見た時に、この数理モデルを用いれば、彼が2万歩歩いたことを計算し、なるほどなと理解することもできる。
[編集] バネの振動の例
バネは、自然長からの伸びが小さい範囲では、伸びた長さと戻ろうとする力が比例することが知られている（フックの法則)。
- 力＝（比例定数）×（伸び）
- ( F = − kx )
となり、バネという自然現象が数理モデルに対応づけられる。バネに小さなおもりがついている状況をニュートンの運動の法則
を用いて表せば、
となる。この数理モデルは、数学的には二階線型微分方程式であり、強力な理論が得られている分野である。数学的な考察により、運動が三角関数で表されることが直ちにわかる。
[編集] モデルの普遍性
いったん抽出された数理モデルはもともと対象とされた現象を超えて、遥かに広い範囲の対象を記述することが多い。例えば、コンデンサとコイルを接続した電気回路の電圧の発展を記述する微分方程式は、上記のバネの振動の方程式と全く同一のものになる。
他にも、熱拡散におけるフーリエの法則、電流におけるオームの法則、液流におけるポアズイユの法則、粒子の拡散におけるフィックの法則は全て
の形をしており、数学的には全く同一のものである。
[編集] 自然界の階層性と数理モデル構築の可能性
一般に物理学では、ミクロな世界の第一原理法則にしたがって相互作用する粒子がシステムの時間発展を決めていると考えられている。しかし、日常の世界に現れるほとんどの考察の対象は、素粒子や原子が莫大な数集まったシステムであり、第一原理に基づいてモデルを構築したり、計算を行うことは不可能である。このことから素朴に考えれば、我々が何かの現象を理解しうるということは絶望的に思える。ところが、世界が第一原理に従って発展しているという仮定から考えれば明らかではないことに、自然界には、物理的なスケールの違う階層があり、それぞれの階層においてなんらかの秩序が見られることが知られている（素粒子、原子、分子、高分子、固体、流体、細胞、組織、器官、群れ、社会、習慣、流行、伝染、生態系、地形、天候、惑星系、銀河、銀河団、宇宙、など）。そもそも、動物が外界に対する認識や解釈を行うということは、そこに何らかの秩序や法則が存在することを示している。そこで、一般に特定の階層に注目し、そこになりたつ普遍的な法則を推定しようという試みがなされ、様々な学問が存在することになる。数理モデルを構築するということは、注目しているシステムに関する現象論的な法則を数学的にモデル化するということである。つまり、数理モデルを構築する際は、そこに下位の階層の構造と独立な法則が成り立っていることを信じているということになるだろう。必然的にシステムを目的のスケールにおいてよく記述するマクロな変数の導入が必要となる。
数理モデルに導入されるそういった変数の数は少なければ少ないほどより良い現象への理解へと導く。こういった観点から、大成功していると思われるのは、熱力学、流体を記述するナビエ-ストークス方程式、物性論における平均場近似などがあげられる。また、量子論が知られた今となれば、巨視的な極限としてニュートン力学を現象論と呼ぶことができなくはない。
また、一つ下の階層における法則が知られている場合には、それを構成要素として組み立てたモデルがよく作られ、さらにその下位の階層における構造は捨象する（例えば、気体分子運動論、電気回路、ニューラルネットワークなど）。
しかし、生体や社会のように対象が複雑で、階層間の法則の分離の様子が自明でない場合や、スケールが一つ下の要素を考えるだけで要素数の多さやその多様性などにより変数が爆発的に多くなってしまうものとなれば、適切な変数の設定やモデル化ができるかどうかはもとより、人間に理解できる程度に単純で普遍的な現象論の存在を仮定すること自体に議論がわかれるところである。（注意：生物において一般的に数理モデルが使えないという意味ではない。例えばホジキンハクスレイ方程式のように華々しい例は存在する。）
[編集] モデル構築と逆問題
現象をよく記述する法則があったときに、そのモデルを構築する作業は演繹ではなく帰納である。例えば、ある微分方程式に従う現象があったとき、観測され得るのはその解であり、微分方程式自体ではない。このとき、この解から方程式を帰納する問題は逆問題となる。何度ボールを投げようとも、その軌跡が正確に同一のものとなることはない。しかし、これらは全てニュートンの運動の法則に従った運動であり、同一の方程式の解である。微分方程式と初期値が与えられた時にその解を求めるのに比べ、観測された解から方程式を求めるのはずっと難しい。あるいは、決定するのは原理的に不可能である。
[編集] コンピュータシミュレーション
対象となる現象が大規模で人手による解析が困難、あるいはナビエ-ストークス方程式のようにモデルの解を解析的に得られない場合は、コンピュータによるシミュレーションによって解を求める。代表的なアルゴリズムとして、オイラー法、ルンゲ＝クッタ法、有限要素法、モンテカルロ法等がある。コンピュータの性能向上によって、扱える数理モデルの幅が大変広まった。
「数値解析」も参照
[編集] 利点
[編集] 現象の理解
上述したように、数理モデルを構築することによって得られることは、まずは現象の理解があげられる。また、数学的に表現することによって、扱いが容易になったり、数学の知見を活用することができる。
[編集] 実験をしないで現象のふるまいを予測する
適切な数理モデルが得られれば、様々な条件化における現象を定量的に予測できるようになる場合が多い。現実のシステムを用いて観測を行う必要がなくなれば、そのために必要な労力・損失を省くことができる。何かの計画において、実現したい状態をもたらす条件を検討する場合にも有用である。ニュートン力学を用いて計算した結果によって人工衛星を打ち上げられることがこれにあたる。感染症のパンデミックに対して、交通規制、隔離、ワクチン配布などの様々な戦略をどう用いればいいのか、といったシミュレーションも行われている。臨界前核実験では、実際に核爆発を起こさず、数理モデルのパラメータ決定のみが目的とされる。
近年はコンピュータの進化によって、莫大な変数を持つような複雑な数理モデルに対しても、シミュレーションにより解の振る舞いを実用的な時間内に求めることが可能になりつつある。例として、IBMによる大脳皮質コラムのシミュレーションBlue Brainプロジェクトや、地球シミュレータによる温暖化の予測などが挙げられる。
[編集] 評価基準
[編集] 本質の抽出
一般的には、対象とするシステムの本質的な特徴を現すことができて、かつできるだけ少ない変数を抽出したものがよいモデルとされる。
[編集] 適用範囲
普通、数理モデルには適用できる範囲が決まっており、その範囲が広いものほどより優れたモデルと言える。例えば、バネの振動におけるフックの法則は、伸びがあまりに大きくなると適用できなくなる。バネを思いっきり引き伸ばせば元に戻らなくなるのは経験上明らかである。また、ニュートン力学は、人間が一般的に捉えられる範囲では十分な正確さを示すが、原子のレベルの大きさの世界や光速度に近い速度では実際の物理現象とのずれが大きくなり、そのような環境下では適切なモデルではない。
一方、定性的にだけ説明して、何にでもあてはまるが、結局メタファーの域を出ないモデルは評価されないこともある。
[編集] 実験データとの照合
当然、実験データとの定量的な一致・予測能力があるものは優れたモデルとされる。実験による検証に耐えられなければ、モデルの妥当性が疑われる。
[編集] 数学的扱いやすさ
扱いやすいものを得るのがモデル化の大きな理由である。数理モデルの場合は、数学的な扱いやすさが重要になる。例えば、ある方程式によりモデル化を行った場合に、その解が解析的に得られるようなものは、数学的に大変性質がよいものだといえる。方程式が非線形の場合は一般にはこれは困難だが、具体例としては、非線形なリズムを持つものが多く同期しあう現象を扱った蔵本モデルは要素数無限大の極限において解が解析的に得られる。解析的に得られない場合は数値解析によって近似解を求める。
[編集] 数学的な分類
[編集] 線型か非線形か
数理モデルは多くの場合、変数を含んでいる。この変数に作用する演算子が線型である場合は、モデルは線型だといわれる。線型な場合、重ね合わせの原理により、系の発展を独立なモードに分解して考えることができる。要素還元的な方法が非常にうまく行くのは、モデルが線型であり、システムのふるまいが要素のふるまいに分解することができる線型な場合である。その基礎には線型演算子のスペクトル分解がある。例えば、弦の振動や熱の拡散過程の場合、熱の分布をフーリエ変換し、それぞれの波数のモードに分解すれば、各々独立に方程式に従うので相互作用を無視することができる。たくさんのバネとおもりをつなげたような系を考えてもやはり線型連立常微分方程式となり、同様である。
一方、非線形の場合は、方程式が非常にシンプルな場合でも系の発展にカオスなどの複雑な状況が生じることがあることが知られている。非線形の微分方程式は一般的には解析的に解けない。(cf.可積分系、ソリトン)
[編集] 決定論的か確率過程か
システムの発展を記述するときに、その発展が直前の状態によって完全に決定されるような決定論的な枠組みを用いるか、発展に確率的な要素を取り込むかの違いがある。常微分方程式や偏微分方程式によるモデル化は決定論的なものにあたる。（解の存在と一意性が保障されているような）微分方程式で記述すれば、状態の発展は初期値のみによって決まる。一方、マルコフ過程、確率微分方程式やマスター方程式での記述は、確率的な過程を取り込む場合にあたる。
[編集] 動的か静的か
時間による発展を取り込むか取り込まないかで、動的か静的かに分類される。例えば、系の状態を最適化問題の極値として与えるものは静的なモデルである。典型的な動的なモデルは、微分方程式や差分方程式によるものである。
[編集] 用いられる数学
常微分方程式、差分方程式、偏微分方程式、積分方程式、幾何学、確率過程、統計学、グラフ理論、ゲーム理論、最適化問題、マルコフ過程、マスター方程式、ベイズ統計学などの数学が用いられるが、それには限らない。
[編集] 代表例
[編集] 物理学
[編集] 輸送現象
[編集] 電子工学
電子回路の挙動を非線形微分方程式でモデル化し解析を行うソフトウェアSPICEは、電子回路設計にて幅広く活用されている。
[編集] 計算機科学
- シャノン情報理論 シャノンの情報理論は、通信（コミュニケーション）の数学的なモデル化である。
- チューリングマシン チューリングマシンは、計算機の計算を、外部記憶と書き込みを付随させたオートマトンにモデル化したものである。
[編集] 神経科学
- ホジキンハクスレイ方程式
- FitzHugh‐南雲モデル
- integrate-and-fire neuron
- ニューラルネットワーク
[編集] 生態学
[編集] 薬学
[編集] 金融工学
[編集] 参考文献
- 日本数学会編『岩波数学辞典 第四版』（岩波書店、2007年）
- 川合慧編『情報』（東京大学出版会、2006年）
- 小形正夫著『振動・波動』（裳華房、1999年）
- 蔵本由紀著『非線形科学』（集英社、2007年）
- 蔵本由紀著『新しい自然学』（岩波書店、2003年）
- 甘利俊一著『神経回路網モデルとコネクショニズム』（東京大学出版会、2008年）
- 松原望著『計量社会科学』（東京大学出版会、1997年）
- 大野克嗣著『非線形な世界』（東京大学出版会、2009年）
[編集] 関連項目
- 公式
- 物性物理学 - 力学系
- 数理工学 - 制御理論
- 数理生物学
- 統計力学
- 経済学 - ゲーム理論
- 数理社会学
- 微分方程式 - 確率微分方程式
- 応用数学 - 統計学 - 確率過程 - シミュレーション
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最終更新 2009年8月18日 (火) 09:41 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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