有界

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有界（ゆうかい）は数学の用語であり、集合論で用いられる概念である。直感的にいえば、範囲の決まっている集合である。

[編集] 定義

順序集合 X の空でない部分集合 A において、ある X の元 x があって、任意の A の元 a より大きいかまたは等しく (a ≤ x)、かつまたある X の元 y があって、任意の A の元 a より小さいかまたは等しい (y ≤ a) とき、A は有界であるという。 特に最初の場合を上に有界であるといい、後の場合を下に有界であるという。

言い換えれば、ここより大きくはなく、ここより小さくはないという“ここ”が確実にあるということである。

他の概念（最大元、最小元、上限、下限、上界、下界など）との関係については、順序集合の項目を参照。

[編集] 例

• 実数の開区間 (a, b) や閉区間 [a, b] は有界である。
• 実数全体は有界ではない；どんな数をとってきても、それより大きなものが存在する（アルキメデスの公理）。

[編集] 関連項目

• 順序集合
• 有向集合