有限

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以下の同値な定義を満たす集合は有限（ゆうげん）であるという。

一般的な定義（常有限であるともいう）

集合Mが有限とは、Mがある自然数と等しい濃度を持つこと。

デデキントによる定義

集合Mが有限とは、写像f：M→Mが存在して、任意のA⊂≠M、A≠φとなるAに対し、f（A）⊆Aとならないようにできる。

ツェルメロによる定義

集合Mが有限とは、1対1写像f：M－｛d｝→M－｛p｝が存在して、任意のA⊂M－｛d｝であるAに対し、f（A）⊆Aかつf（M－｛d｝－A）⊆M－Aとならないようにできる。

ホワイトヘッド、ラッセルによる定義

集合Mが有限とは、巾集合P（M）に対し、X⊆P（M）なるXについて、

1. φ∈X
2. A∈X、m∈MならばA∪｛m｝∈X

をみたすとき、M∈X

シェルピンスキーの定義

集合Mが有限とは、X⊆P（M）なるXについて、

1. a∈Mならば｛a｝∈X
2. A∈X、B∈XならばA∪B∈X

をみたすとき、M∈X

タルスキーの定義

集合Mが有限とは、X⊆P（M）なる任意のXについて、B∈XかつB⊂AとなるBが存在しないようなA∈Xが存在する。

ウェーバーの定義

集合Mが有限とは、Mに適当な順序を与えると（実は任意の全順序に対して）双整列集合（つまり、空でない任意の部分集合が、この順序による最小値と最大値を共に持つ）になる

これらを満たす集合は、デデキント無限ではない（デデキント有限であるという）。しかし、これらを満たさない集合がデデキント無限になることの証明には、選択公理が必要である。

[編集] 関連項目

• 有限集合