楕円

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楕円（だえん、橢円とも。ellipse）とは、平面上のある2定点からの距離の和が一定となるような点の集合から作られる曲線である。基準となる2定点を焦点という。

2つの焦点が近いほど楕円は円に近づき、2つの焦点が一致したとき楕円はその点を中心とした円になる。そのため円は楕円の特殊な場合であると考えることもできる。

楕円の内部に2焦点を通る直線を引くとき、これを長軸という。長軸の長さを長径という。長軸と楕円との交点では2焦点からの距離の差が最大となる。また、長軸の垂直二等分線を楕円の内部に引くとき、この線分を短軸という。短軸の長さを短径という。

楕円の長辺と短辺

[編集] 楕円の方程式

2次元直交座標系で、原点 O が長軸と短軸の交点となる楕円は代数的に次のように書ける。これを標準形という。

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

a > b > 0 のとき、2a は長軸の長さ（長径）、2b は短軸の長さ（短径）となる。xy 平面上にグラフを書くと横長の楕円となる。また、焦点はx 軸上にあり、その座標は $\left( \sqrt{a^2 - b^2} , 0\right) , \left( -\sqrt{a^2 - b^2} , 0\right)$ となる。

b > a > 0 のときは逆に、2b が長軸の長さ（長径）、2a が短軸の長さ（短径）となる。したがって、xy 平面上にグラフを書くと縦長の楕円となる。また、焦点は y 軸上にあり、その座標は $\left(0, \sqrt{b^2 - a^2} \right) , \left(0, -\sqrt{b^2 - a^2} \right)$ となる。

同じ楕円は、t を媒介変数とする媒介変数表示では、次のように表現できる。

$x = a\,\cos t$

$y = b\,\sin t$

$0 \leq t < 2\pi$

楕円の形状は離心率 e で表現される。

$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$

楕円の面積 S は次のように表現できる。

S = π a b

楕円の周の長さ l は a > b のとき、楕円積分を用いて次のように表現できる。

$\begin{align}l &= 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t}dt \\ &= 4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \cos^2 t}dt \qquad \left(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \right)\\ & = 2\pi a \left(1-\sum_{n=1}^\infty \frac{k^{2n}}{2n-1} \left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\right) \end{align}$

その他の楕円の用語

長軸と短軸の交点は楕円の中心と呼ばれる。
長軸を中心で分けた2つの線分は半長軸と呼ばれ、その長さを長半径という。
短軸を中心で分けた2つの線分は半短軸と呼ばれ、その長さを短半径という。
短径と長径の比は楕円率と呼ばれる。

[編集] 作図法

糸を使った作図例

2つの焦点に、焦点間より長い1本の糸の両端をそれぞれ固定し、糸が張る状態で頂点に取付けた筆記具を動かす。この他、楕円コンパス、楕円テンプレートなどを使って作図はできる。

[編集] 歴史

中国語で楕円の楕は「木の切り株」の意味で「木の切り口」の形から名けられたと考えられている。日本では田畑の実際の形から「飯櫃」「平卵形」などと呼ばれていたが、関孝和は「側円」と呼んだ。江戸時代には多くは、側円と呼ばれ明治になって楕円と呼ばれるようになった。

[編集] 関連項目

円錐曲線: 楕円は円錐曲線のひとつに分類される。円錐曲線には放物線、双曲線も含まれる。
楕円軌道: 惑星、衛星、人工衛星の軌道は楕円軌道を描く。
- ケプラーの法則
楕円曲線
オーバル

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最終更新 2009年8月26日 (水) 06:24 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
【楕円】変更履歴

楕円

目次

[編集] 楕円の方程式

[編集] 作図法

[編集] 歴史

[編集] 関連項目

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