正四面体

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正四面体

正四面体（せいしめんたい、せいよんめんたい、regular tetrahedron）は、4枚の合同な正三角形を面とする四面体である。

最も頂点・辺・面の数が少ない正多面体であり、最も頂点・辺・面の数が少ないデルタ多面体であり、アルキメデスの正三角錐である。また、3次元の正単体である。

なお一般に、n 面体のトポロジーは一定しないが、四面体だけは1種類のトポロジーしかない。つまり、四面体は全て、正四面体と同相であり、正四面体の辺を伸ばしたり縮めたりしたものである。

[編集] 性質

正四面体のペトリー多角形

立方体の中の正四面体（アニメGIF）

正四面体の対称性

などである。

辺の長さを $a\,$ とする。

面の面積	$A= \frac \sqrt 3 4 a^2$	$\approx 0.433012702 a^2$
表面積	$S = 4 A = \sqrt 3 a^2$	$\approx 1.732050808 a^2$
高さ	$h = \sqrt \frac 2 3 a$	$\approx 0.816496581 a$
体積	$V = \frac 1 3 A h = \frac 1 \sqrt {72} a^3$	$\approx 0.117851130 a^3$
辺と面のなす角	$\tan ^{-1} \sqrt 2$	$\approx 54.735610 ^\circ$
二面角	$\cos ^{-1} \frac 1 3 = \tan ^{-1} \sqrt 8$	$\approx 70.528779 ^\circ$
中心と頂点を結ぶ直線のなす角	$\frac \pi 2 + \sin ^{-1} \frac 1 3$	$\approx 109.471221 ^\circ$
頂点の立体角	$3 \cos ^{-1} \frac 1 3 - \pi$	$\approx 0.551285598 \ \mathrm{ sr }$
外接球（頂点を通る球）の半径	$R = \sqrt \frac 3 8 a$	$\approx 0.612372436 a$
内接球（面と接する球）の半径	$r = \frac 1 3 R = \frac 1 \sqrt {24} a$	$\approx 0.204124145 a$
中接球（辺と接する球）の半径	$r _ \mathrm M = \sqrt { r R } = \frac 1 \sqrt 8 a$	$\approx 0.353553391 a$
Radius of exspheres	$r _ \mathrm E = \frac 1 \sqrt 6 a$	$\approx 0.408248290 a$
Distance to exsphere center from a vertex	$\sqrt \frac 3 2 a$	$\approx 1.224744871 a$