正多面体

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正多面体 (regular polyhedron)、またはプラトンの立体 (Platonic solid) とは、すべての面が同一の正多角形で構成されてあり、かつすべての頂点において接する面の数が等しい凸多面体のこと。正多面体には正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の五種類がある。三次元空間の中に一つの頂点を取り、その周りに取ることが可能な正多角形に関する制限から、正多面体が先に示したより五種類のみであることが証明できる。このことは、オイラーの多面体公式からも証明できる。しかし、条件を緩めることによって、正多面体の拡張を考えることができる（参照:星型正多面体、ねじれ正多面体、正平面充填形）。正多面体の構成面を正 p 角形、頂点に集まる面の数を q として {p, q} のように表すことができる。これをシュレーフリ記号という。シュレーフリ記号は半正多面体にも拡張することができる。

[編集] 一覧

正多面体の表面積、体積は一辺を a とすれば、概略下記となる。

名前と図	構成面	辺	頂点	シュレーフリ記号	表面積とその概数	体積とその概数
正四面体	正三角形	6	4	{3,3}	$\sqrt{3}a^2$ $= 1.732 a 2$	${\sqrt{2}\over12}a^3$ $= 0.118 a 3$
正六面体	正方形	12	8	{4,3}	$6a^2\,$	$a^3\,$
正八面体	正三角形	12	6	{3,4}	$2\sqrt{3}a^2$ $= 3.464 a 2$	${\sqrt{2}\over3}a^3$ $= 0.471 a 3$
正十二面体	正五角形	30	20	{5,3}	$3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2$ $= 20.65 a 2$	${15+7\sqrt5\over4}a^3$ $= 7.663 a 3$
正二十面体	正三角形	30	12	{3,5}	$5\sqrt3a^2$ $= 8.660 a 2$	${5\over12}(3+\sqrt5)a^3$ $= 2.182 a 3$

[編集] 双対

正多面体は、適切に頂点を選ぶことで別の正多面体を作ることができる。代表的なものは各面の中心を結ぶという操作で、

正二十面体 ↔ 正十二面体
正六面体 ↔ 正八面体
正四面体 ↔ 正四面体

の様に作ることが出来る。これらの関係を双対という。このうち正四面体は正四面体自身になる（自己双対）。

ほかには、

正六面体の1つおきの頂点 → 正四面体
正十二面体の適当な頂点 → 正四面体、正六面体
正四面体の各辺の中点 → 正八面体
正八面体の各辺を黄金分割して結ぶ → 正二十面体

などがある。

表・話・編・歴多面体

正多面体	正四面体 • 正六面体 • 正八面体 • 正十二面体 • 正二十面体

半正多面体	切頂四面体 • 切頂六面体 • 切頂八面体 • 切頂十二面体 • 切頂二十面体 • 立方八面体 • 二十・十二面体 • 斜方立方八面体 • 斜方二十・十二面体 • 斜方切頂立方八面体 • 斜方切頂二十・十二面体 • 変形立方体 • 変形十二面体

星型正多面体	小星型十二面体 • 大十二面体 • 大星型十二面体 • 大二十面体

凸でない一様多面体	八面半八面体 • 四面半六面体 • 小立方立方八面体 • 大立方立方八面体 • 立方半八面体 • 立方切頂立方八面体 • 一様大斜方立方八面体 • 小斜方六面体 • 星型切頂六面体 • 大切頂立方八面体 • 大斜方六面体 • 小二重三角二十・十二面体 • 小二十・二十・十二面体 • 小変形二十・二十・十二面体 • 小十二・二十・十二面体 • 十二・十二面体 • 切頂大十二面体 • 斜方十二・十二面体 • 小斜方十二面体 • 変形十二・十二面体 • 二重三角十二・十二面体 • 大二重三角十二・二十・十二面体 • 小二重三角十二・二十・十二面体 • 二十・十二・十二面体 • 二十面切頂十二・十二面体 • 変形二十・十二・十二面体 • 大二重三角二十・十二面体 • 大二十・二十・十二面体 • 小二十面半十二面体 • 小十二・二十面体 • 小十二面半十二面体 • 大二十・十二面体 • 切頂大二十面体 • 斜方二十面体 • 大変形二十・十二面体 • 小星型切頂十二面体 • 切頂十二・十二面体 • 逆変形十二・十二面体 • 大十二・二十・十二面体 • 小十二面半二十面体 • 大十二・二十面体 • 大変形十二・二十・十二面体 • 大十二面半二十面体 • 大星型切頂十二面体 • 一様大斜方二十・十二面体 • 大切頂二十・十二面体 • 大逆変形二十・十二面体 • 大十二面半十二面体 • 大二十面半十二面体 • 小反屈変形二十・二十・十二面体 • 大斜方十二面体 • 大反屈変形二十・十二面体 • 大二重斜方二十・十二面体

ジョンソンの立体	正四角錐 • 正五角錐 • 正三角台塔 • 正四角台塔 • 正五角台塔 • 正五角丸塔 • 正三角錐柱 • 正四角錐柱 • 正五角錐柱 • 正四角錐反柱 • 正五角錐反柱 • 双三角錐 • 双五角錐 • 双三角錐柱 • 双四角錐柱 • 双五角錐柱 • 双四角錐反柱 • 正三角台塔柱 • 正四角台塔柱 • 正五角台塔柱 • 正五角丸塔柱 • 正三角台塔反柱 • 正四角台塔反柱 • 正五角台塔反柱 • 正五角丸塔反柱 • 異相双三角柱 • 同相双三角台塔 • 同相双四角台塔 • 異相双四角台塔 • 同相双五角台塔 • 異相双五角台塔 • 同相五角台塔丸塔 • 異相五角台塔丸塔 • 同相双五角丸塔 • 同相双三角台塔柱 • 異相双三角台塔柱 • 異相双四角台塔柱 • 同相双五角台塔柱 • 異相双五角台塔柱 • 同相五角台塔丸塔柱 • 異相五角台塔丸塔柱 • 同相双五角丸塔柱 • 異相双五角丸塔柱 • 双三角台塔反柱 • 双四角台塔反柱 • 双五角台塔反柱 • 五角台塔丸塔反柱 • 双五角丸塔反柱 • 側錐三角柱 • 二側錐三角柱 • 三側錐三角柱 • 側錐五角柱 • 二側錐五角柱 • 側錐六角柱 • 双側錐六角柱 • 二側錐六角柱 • 三側錐六角柱 • 側錐十二面体 • 双側錐十二面体 • 二側錐十二面体 • 三側錐十二面体 • 二側錐欠損二十面体 • 三側錐欠損二十面体 • 側錐三側錐欠損二十面体 • 側台塔切頂四面体 • 側台塔切頂立方体 • 双側台塔切頂立方体 • 側台塔切頂十二面体 • 双側台塔切頂十二面体 • 二側台塔切頂十二面体 • 三側台塔切頂十二面体 • 側台塔回転斜方二十・十二面体 • 双側台塔回転斜方二十・十二面体 • 二側台塔回転斜方二十・十二面体 • 三側台塔回転斜方二十・十二面体 • 側台塔欠損斜方二十・十二面体 • 双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 • 二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 • 二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体 • 双側台塔欠損斜方二十・十二面体 • 二側台塔欠損斜方二十・十二面体 • 側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体 • 三側台塔欠損斜方二十・十二面体 • 変形双五角錐 • 変形四角反柱 • 球形屋根 • 側錐球形屋根 • 長球形屋根 • 広底長球形屋根 • 五角錐球形屋根 • 双三日月双丸塔 • 三角広底球形屋根丸塔

カタランの立体	三方四面体 • 三方八面体 • 四方六面体 • 三方二十面体 • 五方十二面体 • 菱形十二面体 • 菱形三十面体 • 凧形二十四面体 • 凧形六十面体 • 六方八面体 • 六方二十面体 • 五角二十四面体 • 五角六十面体

その他の多面体	二面体 • 五面体• 七面体• 十面体• 十四面体

その他の立体	球面 • 円柱 • 円錐 • トーラス