漸近線

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漸近線（ぜんきんせん、asymptote）とは、ある曲線が任意に十分接近する直線または曲線をさす。

1/x のグラフにおいては、x 軸および y 軸が漸近線となる。

漸近線の具体的な例は関数 f(x) = 1/x のグラフに見出せるが、この例の場合二つの漸近線 x = 0 と y = 0 に接近している。垂直方向の漸近線（先述の例の場合 x = 0、傾斜は未定義とする)に接近する曲線は無限の極限に近づくと言え、水平方向の漸近線（先の例ではy = 0）に接近する曲線は有限の極限に近づくと言える。

x + (1/x) のグラフにおいては、y 軸と直線 x = y が二つの漸近線となる。

漸近線は軸に並行である必要は無く、ここに示す x + x⁻¹ のグラフのように、y 軸と直線 y = x が漸近線であってもよい。漸近線が軸に並行でないとき、それは傾いた漸近線と呼ばれる。

漸近線、特に垂直のものに関して、これもまた無限に接近する必要はない。漸近線 x = a は f(x) に対しての垂直な漸近線となる（以下に示す条件の少なくとも一つを満たす場合に）。

ある関数 f(x) は ある関数 g(x) がx → ∞ になる時に漸近的と言える。これは四つの明確な意味を持つ。

1. f(x) - g(x) → 0.
2. f(x) / g(x) → 1.
3. f(x) / g(x) はゼロでない極限を持つ。
4. f(x) / g(x) ゼロを目指すが、接近しない。O記法を参照。

漸近的解析も参照のこと。ただ漸近的曲線とは明暗を有している。

[編集] 有理関数に関する水平漸近線位置決定定理

問：

分子の x に対する最も高い指数 n はいくつか。

分母の x に対する最も高い指数 d はいくつか。

• n = d の時、y = 分子または分母から誘導された係数においての漸近線が存在する。
• n > d の時、水平の漸近線は完全に存在しない。
• n < d の時、x 軸が水平の漸近線となる。