濃度 (数学)

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数学でいう濃度（のうど、potency）とは、集合論に基づいて、個数の概念を発展させたものである。基数 (cardinal number) とも呼ぶ。有限集合では、個数と考えて良い。例えば、1 個のリンゴ、2 個のミカンというときの 1 や 2 （one、two）は基数である。これに対する概念として順序数がある。1 番目、2 番目という時の 1 や 2 （first、second）がそうである。

カントールにより、無限集合の濃度は一つではないことが見出された。

[編集] 定義

集合 A から集合 B への全単射があるとき、A と B は濃度が等しいと言われる。

通常、A の濃度とは、A との間に全単射が存在する順序数のうち最も小さなものと定義される。しかし、この定義では全ての集合が濃度を持つことを言うためには選択公理を必要とする。選択公理を仮定せず、正則性公理を使って濃度を定義できることも知られている。その方法は、発見者の名から「スコットのトリック」と呼ばれる。

次に、濃度に大小関係を定義する。今、A の濃度を |A| と表すことにする。A から B に単射があるとき、|A| ≤ |B| と定義する。|A| ≤ |B| かつ |B| ≤ |A| ならば |A| = |B| とする。これが上の定義と一致するということを保証するのが、（カントール＝）ベルンシュタインの定理である。

[編集] ベルンシュタインの定理

詳細は「ベルンシュタインの定理」を参照

集合 A から集合 B への単射があり、B から A へも単射があれば、A から B への全単射がある。この主張は直観的には当たり前に感じられるが、証明をするとなるとそれほど簡単ではない。

[編集] 無限集合の濃度

可算濃度とは自然数の濃度である。通常、 $\aleph_0$ (アレフゼロ) あるいは $\mathfrak{a}$ と表記される。 $\aleph$ はヘブライ文字のアレフである。

定義より自然数との間に一対一対応を付けることができ、これによって 1, 2, 3, … と順番に数えていくことができるため「可算」と言う。自然数、整数、偶数、奇数、有理数はいずれも可算個である。

連続体濃度とは実数の全体の濃度である。 $\aleph$ あるいは $\mathfrak{c}$ と表記される。両者の間には、カントールの対角線論法によって $\aleph_0 < \aleph$ が成り立つことが証明される。

可算濃度には以下のような性質がある。

$\aleph_0$ は極小な無限濃度である。すなわち、 $κ$ が $\aleph_0$ より小さい濃度ならば、 $κ$ は有限濃度である。
選択公理を仮定すると、 $\aleph_0$ は最小な無限基数である。すなわち、全ての無限濃度 $κ$ に対して、 $\aleph_0\leq\kappa$ が成り立つ。

[編集] 後続基数と極限基数

全ての基数 $κ$ に対して、それより大きい基数 $λ$ でその二つの基数の間には他の基数が存在しないようなものが存在する。つまり、 $λ$ は $κ$ の次の基数であると言える。このような基数を $κ$ の後続基数 (successor cardinal) という。どの基数の後続基数にもならないような基数を極限基数 (limit cardinal) という。

後続基数は常に正則基数になるなど、後続基数と極限基数の間には大きな性質の違いが見られる。

[編集] 基数と順序数

有限集合では、基数と順序数はどちらも日常的な数感覚と同じであり、基数 n と順序数 n が対応する。しかし無限集合では対応しない。例えば、有限個の正の整数を 1, 2, 3, …, n と並べた場合、基数は n、順序数は n である。これを並べ替えて、2, 3, …, n, 1 とした場合も基数と順序数は変わらない。一方、正の整数すべてを 1, 2, 3, … と並べた場合の基数を $\aleph_0$ 、順序数を ω とする。これを並べ替えて 2, 3, …, 1 とした場合、基数は変わらないが、順序数は ω + 1 になり、ω より大きくなる。

最終更新 2009年11月29日 (日) 06:23 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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