点群
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数学における点群（てんぐん、英: point group）とはある図形の形を保ったまま行う移動操作のうち、少なくとも1つの不動点を持つものを元とする群のこと。このような群によって物理学や化学における分子や結晶の対称性が記述される。そのようの応用との関係からふつう3次元ユークリッド空間における変換の範疇で考えることが多い。
正四面体を、ある面の重心を通る垂線の回りに120度回転させてももとの正四面体と区別はつかない。このようにある図形に対して、もとの図形と区別がつかないように移動を行う操作を対称操作という。
このような、3次元ユークリッド空間における対称操作には以下の7つの種類がある。
- 恒等操作 - 何の移動もしない。
- 回転操作 - 図形上のすべての点をある軸(対称軸)に対して回転させる。
- 鏡映操作 - 図形上のすべての点をある面(対称面)について面対称に移動させる。
- 反転操作 - 図形上のすべての点をある点(対称中心)について点対称に移動させる。
- 回映操作 - 図形上のすべての点をある軸(回映軸)に対して回転させた後、その軸に垂直な面について面対称に移動させる。
- 回反操作 - 図形上のすべての点をある軸(回反軸)に対して回転させた後、その軸上の一点について点対称に移動させる。
- 並進操作 - 図形上のすべての点を平行移動させる
この中で並進操作以外では少なくとも1つの点が不動点となる。恒等操作では図形上のすべての点が、回転操作では回転軸上の点が、鏡映操作では鏡映面上の点が、反転操作では対称中心が、回映操作では回映軸上の1点が、回反操作では回反軸上の1点が不動点となっている。
それぞれの操作を特徴付けている対称軸、対称面、対称中心、回映軸、回反軸は対称要素とよばれる。
同じ図形に関するふたつの対称操作aとbとの積a×bを、考えている図形に対しaに続いてbを施してえられる対称操作と定義する。そうすると、ある図形の並進操作以外の対称操作の集合は次のように群の公理を満たしている。
- 結合法則:任意の操作a, b, cについて(a×b)×c = a×(b×c)が成立。
- 単位元:任意の操作aが、恒等操作eについてa×e = e×a = a。
- 逆元:任意の操作aに対し、a×a-1 = a-1×a = eとなるa-1が必ず存在する。
この群のことを与えられた図形の点群という。
例えば底面が正三角形の三角錐（正四面体ではない）では、頂点から底面に下ろした垂線は3回軸である。また、この垂線と三角錐の稜線を含む面（3つある）は鏡映面である。したがって、この図形では、対称操作として、恒等操作、120度時計回りの回転操作、120度反時計回りの回転操作、3つの鏡映操作が可能である。この6つの対称操作が群をつくることは、どの2つの連続操作も1つの操作で表現されることからわかる。
点群を記述するのにはシェーンフリース記号かヘルマン・モーガン記号のいずれかが用いられる。例えば底面が正三角形の三角錐の点群はシェーンフリース記号では C3v、ヘルマン・モーガン記号では 3m と表記される。
正五角形で平面を埋め尽くすことはできない。すなわち72度回転する回転操作は並進操作とは両立しない。このように点群の中で並進操作と両立するものは限られており32種しか存在しない。結晶においては並進操作が成り立たなければならないから、この32種の結晶に許される点群を特に結晶点群という。
結晶点群に含まれる対称操作に並進操作を加えた場合も群を作る。これは空間群と呼ばれる。
[編集] 関連項目
- 結晶群
[編集] 参考文献
- フェリクス クライン 『正20面体と5次方程式』 関口 次郎、前田 博信訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、1997年。ISBN 978-4431706922。
- 今野 豊彦 『物質の対称性と群論』 共立出版、2001年。ISBN 978-4320034099。
