特異点
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特異点（とくいてん、singularity）は、ある基準 (regulation) の下、その基準が適用できない (singular な) 点である。したがって、特異点は基準があって初めて認識され、「 - に於ける特異点」「 - に関する特異点」という呼ばれ方をする。特異点という言葉は、数学と物理学の両方で用いられる。
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[編集] 例
- 複素解析における正則関数の正則性 (regularity) に関する特異点とは、複素関数で微分不可能な点をさす。具体的には、可除特異点 (removable singularity)、極 (pole)、真性特異点 (essential singularity) の3種の孤立点がある。有理関数 1/x に於ける特異点は、x = 0 であり、これは 1 位の極である。
- 局所的な変換が一対一を保たない点。円座標平面 (r,θ) に於ける特異点は、r = 0 である。（関数行列参照）
- 宇宙物理学では重力に関する特異点が考えられ、重力の特異点 (gravitational singularity) という。ブラックホール内には、時空に於ける特異点が存在する。（特異点定理参照）
[編集] 関数の特異点
数学において、特異点とは一般に、与えられた数学的な対象が定義されない点、または微分可能性のように、ある性質が保たれなくなるような例外的な集合に属する点をいう。 例えば、関数
は x = 0 で 
に発散し、定義されないので、このとき x = 0 は特異点であるという。 絶対値関数 g(x) = | x | は x = 0 で微分できないので、このとき x = 0 は特異点であるという。 また、y2 = x で定義されるグラフは、点 (0,0) で垂直な接線を持つので特異点であるという。 (x,y) 座標系の y2 = x2 で定義される代数集合は、点 (0,0) で接線を持たないので特異点であるという。
複素解析における正則関数の正則性に関する特異点は3種類ある。 U を 
の開部分集合、a は U の元、f は 
で定義された正則関数とする。
- のすべての点 z で f(z) = g(z) となるような U のすべての点で定義される正則関数 g が存在するとき、点 a は f の可除特異点である。
- のすべての点 z である自然数 n に対してf(z) = g(z) / (z − a)n となるような U のすべての点で定義される正則関数 g が存在するとき、点 a は f のn位の極である。
- 可除特異点でも極でもないとき、点 a は f の真性特異点である。
[編集] 力学系における特異点
力学的な変数が有限時間に無限に増加すると、有限時間の特異性が起こる。 例として、平面における弾力性のないボールの弾性が挙げられる。 ボールは衝突の度に運動エネルギーが失われて有限時間の後に停止するはずだが、そのときの弾む頻度を考えると無限になってしまう。
[編集] 科学技術社会の特異点
詳細は「技術的特異点」を参照
[編集] 関連項目
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