球面波

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球面波(spherical wave)とは、三次元の等方的な媒質中に存在する点波源から発生、もしくは一点に向かって収束する球状の波動のことである。同位相の波面は全て点波源を中心とする同心球面を形成するため、この波動は波源に関して球対称となる。

[編集] 球面波を表す式

球面波を記述する式には次の二通りのものが存在する。

$\psi(r,t)=\frac{f(r\pm vt)}{r}$
$\psi(r,t)=\frac{1}{r}F\left(t\pm\frac{r}{v}\right)$

ただしここで $r$ は波源からの距離、 $t$ は時刻、 $v$ は位相速度(ただし $v > 0$ )である。

[編集] 導出

上式は次のようにして導き出せる。

三次元の波動方程式より

$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}$

ただしここでは波源を原点、すなわち $(x, y, z) = (0,0,0)$ としている。このとき次の関係が成り立つ。

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

このとき

$\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{x}{r}$

したがって

$\frac{\partial\psi}{\partial x}=\frac{\partial\psi}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}$
$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)=\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{x}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)=\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{x}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{x}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)=\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{x}{r}\left(-\frac{x}{r^2}\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{x}{r}\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}\right)$
$=\frac{r^2-x^2}{r^3}\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{x^2}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}$

同様に

$\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}=\frac{r^2-y^2}{r^3}\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{y^2}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}$
$\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}=\frac{r^2-z^2}{r^3}\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{z^2}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}$

したがって

$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}=\frac{3r^2-(x^2+y^2+z^2)}{r^3}\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{x^2+y^2+z^2}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}=\frac{2}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}+\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}$