環 (数学)

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環（かん、ring）とは、加法と乗法と呼ばれる二つの二項演算によって定まる代数的構造を備えた代数系である。環の代表的な例として、整数全体のなす集合に対し普通の意味での加法と乗法を考えたものがあげられる。環の性質についての研究体系を総称して環論（かんろん）といい、おおまかに可換環論と非可換環論に分けることができる。特に可換環論は代数幾何学や整数論における直接の応用を持つが、環という代数的枠組みは数学のほとんどの分野で様々なかたちで広く利用されている。

[編集] 定義

環 R とは、加法と乗法とよばれる二つの二項演算を付与された集合で、加法 + についてアーベル群であり、更に乗法 * に関して任意の R の元 a, b, c が次の性質を持つものである。

結合法則

a * (b * c) = (a * b) * c

左分配法則

a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

右分配法則

(a + b) * c = (a * c) + (b * c)

乗法演算の記号 * は普通省略されて、a * b は、ab と書かれる。

更に R が乗法の単位元 1 を持つとき、すなわち R の任意の元 a に対して、

a * 1 = 1 * a = a

を 1 が満たすとき、 R は単位的環（ユニタリー環、ユニタル環）と呼ばれる。単位的環のみに興味がある文脈ではしばしば「環」が「単位的環」をさす言葉として用いられている。

R が乗法について可換であるとき、すなわち R の任意の元 a,bが

a * b = b * a

を満たすとき、 R を可換環という。可換でない（あるいは、は可換性を仮定しないということを強調する場合の）環を非可換環という。可換環のみに興味がある文脈ではしばしば「環」が「可換環」をさす言葉として用いられている。

環の加法や乗法に関する定義からの直接的な帰結として、整数における計算と同じようにして

• 任意の元aについてa0 = 0a = 0
• 乗法の単位元が存在するならばそれは一意に定まる
• 単位的環において 1 = 0 ならば、その環にはたった一つの元しか含まれない
• 乗法の単位元が存在するとき -a = (-1)a
• (-a)(-b) = ab

などが成り立っている。

[編集] 例

• 環論の歴史的な動機付けとなった例として整数や代数的整数のなす環があげられる。
• 有理数全体の成す集合 Q、実数の全体の成す集合 R あるいは複素数の全体の成す集合 C はそれぞれ環をなす。実際、それらは体でもある。
• n を正の整数とするとき、 n を法とする整数の集合 Z / nZ は環である（この記法については、以下の剰余環を参照）。
• 閉区間 [a, b] で定義されるすべての実数値連続関数のなす集合 C[a, b] は環（さらに実数体上の多元環 ）をなす。演算は関数の各点での値ごとに関する加法と乗法で入れる。すなわち、関数 f(x) および g(x) の和と積は、次のような値をとる関数として定義される。

  (f + g)(x) = f(x) + g(x)

  (fg)(x) = f(x)g(x)

• 係数をある環 R に持つ多変数の多項式全体の集合 R[x₁,x₂,...,x_n] は環をなす。
• A を環、 nを自然数とするとき、 A に係数を持つ n 次の正方行列全体の集合 M_nAは（一般には非可換な）環をなす。
• G がアーベル群（可換群）であるとき、 G の自己準同型全体のなす集合 End(G) は、加法を値ごとの和（関数の場合と形式上同じもの）で、乗法を準同型の合成によって定義することで一般には非可換な環をなす。。
• S を集合とするとき、 S のべき集合 P(S) は次のようにして環になる (A, B ⊂ S)：
  • 
  • 

これはブール代数の例である。

[編集] 環についての諸概念

以下、R は乗法について可換とは限らず、単位元 1 を持つ環とする。

[編集] 部分環

R の部分集合 S が単位元 1 を含み、加法や乗法について閉じているとき、S は部分環だといわれる。

R の元のうちでほかのどんな元との積も可換になっているようなものを集めた集合 Z(R) はRの中心とよばれる。Z(R) は R の可換な部分環になっている。

[編集] イデアル

R の部分集合 I が加法について閉じていて、x ∈ R, y ∈ Iならば xy やyxがかならず I に入っているとき、I を両側イデアルという。イデアル I が与えられているとき、x - y ∈ I で R に同値関係を定義することができる。さらに同値類の間に自然な演算を定義できて、環になることが分かる。この環を R の I による剰余環といい、R / I と書く。

[編集] 環上の加群

環Rに対し、R上の加群の概念が定式化される。とくに体上の加群とはベクトル空間のことになる。環Rはそれ自身 R 上の加群と見なすことができるが、イデアルとはRの部分加群だということになる。

[編集] 環の準同型

環 R₁ から環 R₂ への準同型 f とは、

1. f(a + b) = f(a) + f(b)
2. f(ab) = f(a)f(b)
3. f(1) = 1'

が成り立つような R₁ から R₂ への写像のことである。ここで、1 は R₁ の単位元、 1' はR₂ の単位元をそれぞれ表している。準同型 f が全単射であるとき、同型（写像）と呼び、R₁ と R₂ は同型であるという。準同型の核はイデアルになり、次の準同型定理が成り立つ；

R₁ / Ker f と Im f は同型である。

Aが可換環で f(X) が A に係数を持つ一変数多項式だとする。A を係数とする一変数多項式環 A[X] の、f(X) によって生成される単項イデアル (f) による商を R とすると、R から A への環準同型を考えるということはAにおけるfの根を考えることと同値になる。

[編集] 積に関する構造

a が逆元を持つとき、すなわち aa^-1 = a^-1a = 1 となるような a^-1 が存在するとき、a を単元あるいは可逆元という。 環 R が与えられたとき、R の単元の全体は R の乗法について群をなす。これを R の単元群と呼び、R^× または R^* のように書かれる。体 D の単元群は

となる。

0 ではない二元 a , b で、ab = 0 となるものがあれば、a を左零因子、bを右零因子という。左零因子、右零因子をまとめて零因子という。零因子が存在しないような環を整域という。

整域 R について、任意の元 x, y について大きさ（正確には整列集合への写像）が決まっていて、x が零でないとき

1. x > 0 が成り立つ
2. y = qx + r で、しかも、r < x となるような R の元 q, r が存在する

の双方が成り立つならば、R をユークリッド整域という。これは整数における剰余法則を言い換えたものであり、絶対値を用いて大きさを決めれば整数はユークリッド整域になる。上の2つの条件は、ユークリッドの互除法を適用できるための必要十分条件である。ユークリッド整域は単項イデアル整域である。

零でない c に対して、ab = c が成り立つならば a または b のどちらかが必ず単元になるとき、c を既約元という。また、ある元 p に対して、ab が p で割り切れるならば a または b が p で割り切れるとき、p を素元という。一般に、素元は既約元でもある。素元分解整域においては、逆に既約元は素元でもあるので、既約元と素元の両概念は一致する。

ここでいう既約元を素元と呼び、素元には名前を付けない流儀もあるが、両概念を区別して認識するためには上記の定義が望ましい。

イデアルがただ一つの元から生成されるとき、このイデアルを単項イデアルという。全てのイデアルが単項イデアルであるとき、この環を単項イデアル環という。さらに整域であれば、単項イデアル整域という。整数は単項イデアル整域である。単項イデアル整域は、素元分解整域である。

[編集] 幾何的な描像

単位的可換環に対してアフィンスキームとよばれる局所環付き空間を対応させることができる。アフィンスキーム上の加群の層を考えることは元々の環上の加群を考えることと同じになる。

複素数体上の線形環で複素共役の類似である対合操作と関数の一様収束の類似であるノルム位相に関する公理を満たす可換C*-環とよばれる環は、局所コンパクト空間上の関数環と見なせることが知られている。可換C*-環上の有限生成射影加群を考えることは局所コンパクト空間上の複素ベクトル束を考えることと同じになる。

[編集] 関連項目

• イデアル
• 加群
• 体 (数学)

可換環論

• 素元分解整域
• ネーター環
• アルティン環
• デデキント環
• クルル環
• コーエン-マコーレイ環
• ゴレンシュタイン環
• 正則環
• 正規環

非可換な環

• 作用素環論
• ヘッケ環
• リー環