約数関数

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nの約数の個数を表わす
σ₀(n)≡d(n) のグラフ(n≦250)

nの約数の総和を表わす
σ₁(n)≡σ(n) のグラフ(n≦250)

約数関数（やくすうかんすう、英: divisor function）は、自然数 n を変数とする関数で、nの全ての約数を整数乗した数の総和を値にとるものである。

[編集] 定義

約数関数 σ_x(n) は自然数nの約数dのx乗の総和を値として持つ関数であり、式では

$\sigma_{x}(n)=\sum_{d|n} d^x\,\!$

のように表わされる。x=0 のとき σ₀(n) はnの約数の個数を表わし、d(n)と表記されることもある。x=1 のとき σ₁(n) はnの約数の総和であり、単に σ(n) と表記する場合もある。

[編集] 計算例と特徴

例えば n=15 では d(15) = σ₀(15) = 1⁰+3⁰+5⁰+15⁰ = 4 、σ(15) = σ₁(15) = 1¹+3¹+5¹+15¹=24 、σ₂(15) = 1²+3²+5²+15² = 260

素数 p を変数とすると、pの約数は1とpの2個のみであるから d(p)=2 、σ(p)=p+1 となる。また pⁿ の約数は 1,p,p²,…,pⁿ のn+1個なので d(pⁿ)=n+1 、σ(pⁿ)=(pⁿ⁺¹-1)/(p-1) となる。

d(n) および σ(n) は n=1 のとき最小値1をとる。d(n)=n の解は n=1,2 の2つのみであり、σ(n)=n の解や d(n)=σ(n) の解は n=1 のみである。n≧3では 2≦d(n)< n < σ(n) が成り立つ。

nを素因数分解して以下の式の形で表わす。

$n = \prod_{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}$

ここで r はnの素因子の個数、p_i はそのなかでi番目に小さい素因子、a_i は素因数分解で現れる各素因子の指数部である。ここから

$\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^x-1} \quad (x \ne 0)$

が導かれる。これは

$\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \sum_{j=0}^{a_{i}} p_{i}^{j x} = \prod_{i=1}^{r} (1 + p_{i}^x + p_{i}^{2x} + \cdots + p_{i}^{a_i x})$

と同値である。x=0 のときは

$\sigma_0(n)\equiv d(n)=\prod_{i=1}^{r} (a_i+1)$

となる。例えば n=pq （p,qは素数）とすると、σ(n)=(1+p)(1+q)=n+p+q+1、d(n)=(1+1)(1+1)=4 となる。

[編集] その他の公式

約数関数は以下の三角関数を用いた式で表わすこともできる。

$\sigma_x(n)=\sum_{\mu=1}^{n} \mu^{x-1}\sum_{\nu=1}^{\mu}\cos\frac{2\pi\nu n}{\mu}$

またゼータ関数ζ(s)とは

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-a)$

という関係式をもつ。

σ(n)の増加の割合は以下の式で表わされる。

$\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sigma(n)}{n\ \log \log n}=e^\gamma$

γはオイラー定数である。

また、d(n)の増加の割合は以下の式で表される。

$\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\log d(n) \log\log n}{\log n}=\log 2$

特に、任意のε>0 に対して、 d(n)=o(n^ε) が成り立つ。

$σ(n) < e γ n loglog n$ 　(n>5040) が真であるならリーマン予想も真であることが証明されている。つまりこの不等式を満たさない最大の数が5040であり、5041以上の全ての自然数がこの不等式を満たすならばリーマン予想は真である。もしリーマン予想が偽ならこの不等式を満たさないnは無数に存在する。

[編集] 約数関数の値

σ(n)<2n を満たすnを不足数、σ(n)=2n を満たすnを完全数、σ(n)>2n を満たすnを過剰数という。

6, 28, 496などが完全数として知られている。偶数の完全数全体はメルセンヌ素数2^p-1に対して2^p-1(2^p-1)と表されるもの全体と一致することが知られている。奇数の完全数が存在するかどうかは古くからの数論の未解決問題として有名である。

このほかにも、約数関数、特に約数の和の関数σ(n)の値に関しては多くの概念が考察され、多くの未解決問題が提示されている。いくつかの例をあげる。

σ(n)=2n-1を満たすnを概完全数といい、σ(n)=2n+1を満たすnを準完全数という。概完全数は2の累乗（1も含む）が知られているが、それ以外に存在するかどうか知られていない。準完全数は存在するかどうか未だに分かっていない。準完全数が存在するならば、それは奇数の平方数でなければならないことが知られている。
σ(n)=kn （k:整数）を満たすnをk-倍完全数という。例えば120は3倍完全数である。現在知られている倍完全数はn=1(このとき、k=1)を除いて全て偶数である。1以外に奇数の倍完全数が存在するか否かは知られていない。
σ(σ(n))=2n を満たすnを超完全数という。偶数の超完全数はメルセンヌ素数2^p-1に対して、2^p-1と表されるもの全体と一致する事が知られている。奇数の超完全数が存在するか否かは知られていない。奇数の超完全数が存在するならば、それは平方数で少なくとも2つの相異なる素因数を持たなければならないことが知られている。
σ(n) = σ(m)= n+m を満たす相異なる数 n, m の組を友愛数という。(n, m)=(220, 284)などがそれである。友愛数が無限に存在するか否かは知られていない。
d(n)=d(n+1) を満たすnは無数に存在することが証明されている(例:n=2, 14, 21, 26, 33, 34･･････)。

最終更新 2009年11月27日 (金) 09:57 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
【約数関数】変更履歴

約数関数

目次

[編集] 定義

[編集] 計算例と特徴

[編集] その他の公式

[編集] 約数関数の値

[編集] 関連項目

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