素イデアル

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素イデアルは、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数（素元）の概念の拡張として出てきたものである。概型(スキーム)の理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成するというideaがもとになっているが、その時に、その環の素イデアル1つ1つが、下の空間の点に対応する。

[編集] 定義　

環 $A$ の真の（即ち、 $A$ と異なる）イデアル $P$ が素イデアル であるとは、 $\forall a,b\in A \ \ [ ab\in P \Rightarrow a \in P \ or \ b\in P]$

が成立するときを言う。素イデアルは英語名 prime ideal の頭文字をとって $P$ や近い文字で表すことが多い。

以下、環は全て単位元を持つ可換環とする。この場合が特に大切である。

このとき、上に挙げた素イデアルの定義は以下の条件1,2のどちらとも同値である。

剰余環 $A / P$ が整域
$A$ の任意のイデアル $I, J$ について、

$IJ\subseteq P \ \Rightarrow I\subseteq P \ or \ J\subseteq P$ が成立する

特に条件の1から、任意の極大イデアルが素イデアルであることがわかる。なぜなら、イデアル $m$ が極大イデアルであるための条件は、 $A / m$ が体であることだから。

[編集] 具体例

整数環 $Z$ において、素数 $p$ の倍数全体

が成すイデアル。一般に、環 $A$ において、その素元 $p$ が生成するイデアル $p A$ は素イデアルになる。これは逆も正しい。

一般に、 $A, B$ を環、 $f:A\rightarrow B$

を環の準同型としたとき、 $f$ による、 $B$ の任意の素イデアルの引き戻しは、 $A$ の素イデアルになる。

[編集] 定理　

Aを環Rの固有のイデアルとする。Aが素イデアルであるためには商環R/Aが整域をなすことが必要十分である。

[編集] 局所化

$A$ を環、 $P$ をその素イデアルとすると、集合 $S=A\setminus P$ は積閉集合となる。 $S$ による $A$ の局所化 $S - 1 A$ を $A P$ と書く。これは $P A P$ を極大イデアルとする局所環となる。その剰余体 $A P / P A P$ を $k (P)$ などと書くこともある。

[編集] 関連項目

局所化
局所環
概型
代数幾何学
零点定理

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最終更新 2009年9月20日 (日) 02:33 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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