群速度

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赤点と緑点はそれぞれ位相速度と群速度を表している。群速度はいくつかの波のかたまりである波束の進む速度に対応している。

群速度 (Group velocity) は、媒質中を伝わる波（波動、波束）の速度のこと。

波（波動）の周波数（角振動数）を ω、その波数を k とすると分散関係は、

$\omega = \omega(\mathbf{k})$

となり、群速度 $\mathbf{v}_g$ は、

$\mathbf{v}_g = { \partial \omega (\mathbf{k}) \over {\partial \mathbf{k}} }$

となる。分散がない場合（振動数に対する依存がない時）、群速度は位相速度と一致する。

群速度はしばしばエネルギーや情報が伝わる速度と考えられている。多くの場合、これは正しく波形が伝わる信号速度と考えることができる。しかし、波が吸収性のある媒質を伝播する場合には、上のことが常に成り立つとは限らない。

1980年までに多くの実験により、レーザー光のパルスの速度が真空中の光速度を超える速度で特別な物質中を伝播することが確かめられた。だからといって、超光速度の情報伝達はこの場合には不可能である。それは信号の速度は光の速度よりも遅いためである。また、群速度を小さくして0として静止させたり、負の速度としパルスを逆向きに伝播するようにすることができる。しかしながら、これらの場合には光子は媒質中での光速度で伝播を続けている。

位相速度と区別する群速度の概念は1839年にハミルトンにより初めて提案された。1877年にレイリーが「Theory of Sound」において最初に扱った。

[編集] 物質波の群速度

アインシュタインは1905年に波動と粒子の二重性について初めて説明を行った。ド・ブロイはいずれの粒子もその二重性を持っていることを仮説として提案した。粒子の速度について、彼はいつも物質中の物質波の速度と一致すべきであると結論付けた。しかし、現在でも疑問視されている。ド・ブロイはすでに知られている光についての二重性の方程式のように他の粒子についても同じならば、彼の仮説が成り立つと推測した。

それは次を意味する。

$v_{g}=\frac{\partial \omega}{\partial k}=\frac{\partial(E/\hbar)}{\partial(p/\hbar)}=\frac{\partial E}{\partial p}$

Eは粒子の全体のエネルギー
pは粒子の運動量
$\hbar$ は換算プランク定数

非相対論的な場合の自由粒子について

$\begin{align} v_g &= \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \frac{1}{2}\frac{p^2}{m} \right)\\ &= \frac{p}{m}\\ &= v. \end{align}$

ここで mは粒子の質量 vはその速度である。

また、相対論的な自由粒子については

$\begin{align} v_g &= \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} \right)\\ &= \frac{pc^2}{\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}}\\ &= \frac{p}{m\sqrt{(p/(mc))^2+1}}\\ &= \frac{p}{m\gamma}\\ &= \frac{mv\gamma}{m\gamma}\\ &= v. \end{align}$