角運動量

角運動量; angular momentum
量記号	L
次元	M L −2 T −1
種類	擬ベクトル
SI単位	ニュートンメートル秒 (N·m·s)
プランク単位	有理化されたプランク定数 (ℏ)
	表・話・編・歴

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固定された回転軸をもつ系に対して、力を作用させた時の物理量の関係。力のモーメント $\vec{\tau}$ と位置ベクトル $\vec{r}$ と力 $\vec{F}$ との関係（上の式）、および角運動量 $\vec{L}$ と位置ベクトル $\vec{r}$ と運動量 $\vec{p}$ との関係（下の式）。

角運動量（かくうんどうりょう）とは、運動量のモーメントを表す力学の概念である。

位置 $\vec{r}$ において、速度 $\vec{v}$ で運動している質量 $\,m$ の質点の、原点のまわりの角運動量 $\vec{L}$ は、次式で定義される。

$\vec{L} \equiv \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m \vec{v} = m \vec{r} \times \frac{d \vec{r}}{dt}$

ここで、 $\,\times$ は外積を表す記号であり、 $\vec{p} = m \vec{v}$ は質点の運動量である。方向は他のモーメント同様 $\vec{r}$ から $\vec{p}$ に回転するとき、右ねじの進む方向である。外積であるので、角運動量の大きさ $\,L$ は次のように表される。

$L=rp\,\sin \theta$

ここで、 $\,\theta$ は $\vec{r}$ と $\vec{p}$ のなす角を示す。

角運動量の単位時間当たりの変化量 $\tfrac{d\vec{L}}{dt}$ は力のモーメント $\vec{N} \equiv \vec{r} \times \vec{F}$ に等しい。

$\frac{d\vec{L}}{dt}=\frac{d(\vec{r}\times \vec{p})}{dt}=\frac{d\vec{r}}{dt}\times \vec{p}+\vec{r}\times \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{r}\times \vec{F}\equiv N$

ここで次の関係を使った。

$\frac{d\vec{r}}{dt}\times \vec{p}=\frac{d\vec{r}}{dt}\times (m\frac{d\vec{r}}{dt})=0 ,\frac{\vec{dp}}{dt}=\vec{F}$

このことから、力が動径方向( $\vec{r}$ 方向)にあるか、あるいは力が働いていないときは $\vec{N}=0$ となり、したがって、このとき角運動量は時間とともに変化しなくなる。このことを角運動量保存の法則(角運動量の保存則)という。

詳細は「角運動量保存の法則」を参照

保存則が成り立っている物体に加わっている力、すなわち動径方向( $\vec{r}$ 方向)と同じ向きにある力は、その大きさを $\,f(r)$ とすると、次のように表すことができる。

$\vec{F}=f(r)\vec{\hat{r}},\,\,\,\,\,\hat{r}\equiv \frac{\vec{r}}{r}$

この力は中心力と呼ばれる。

惑星間に働く万有引力は中心力であり、したがって、惑星の角運動量は保存される。保存則は、ケプラーの第２法則「面積速度一定」と密接な関わりがある。単位時間当たりに惑星の掃く面積は、次のように表され、

$\frac{dS}{dt}\fallingdotseq \frac{1}{2}r\frac{ds}{dt}=\frac{1}{2}rv=\frac{1}{2m}L$

したがって、掃かれる面積の時間による変化率が一定ならば、角運動量も一定の値をとる。

$\frac{dS}{dt}=h\Leftrightarrow L=2mh$

等速直線運動においてはベクトル量である運動量 $\vec{p}$ が時間によらず一定であるのに対し、等速円運動においては、運動量の大きさは一定であるが、向きは時間により変化する。外力 $\vec{F}$ が加わらないとき、力のモーメント $\vec{N}$ は $\,0$ であり、角運動量は等速直線運動でも等速円運動でも時間によらず一定のベクトル量となる。

[編集] 回転運動と角運動量

円運動している質点の速さ $\vec{v}$ は次のように表される。

$\vec{v}=\vec{r}\times \vec{\omega},\mid \vec{v}\mid =v=\mid \vec{\omega}\times \vec{r}\mid =\omega r$

ここでωは角速度である。したがって、回転運動している質点の角運動量は

$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}=\vec{r}\times (m\vec{\omega }\times \vec{r})=m\vec{r}\times \vec{\omega }\times \vec{r}$

最後の式の形はベクトル三重積であり、よって、

$\vec{L}=mr^2\vec{\omega}$
$\,L=m\omega r^2$

次に、多数の質点が混在する質点系の、力のモーメントと角運動量の関係を述べる。質点系の角運動量の時間的変化率 $\tfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{N}$ は外力のモーメントに等しく、内力のモーメントに依存しない。これは次のように示される。 $\,i$ 番目の質点の角運動量を $\vec{l_i}$ とすると、その質点の力のモーメント $\vec{N_i}$ は

$\frac{d\vec{l_i}}{dt}=\vec{N_i}$

また、 $\,i$ 番目の質点に作用する力で表せば、

(1) $\vec{N}_i=\vec{r}_i\times (\vec{F}_i+\sum_{j} \vec{F}_{ij})$

となるが、内力の部分の力のモーメントについては、運動の第3法則 $\vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}$ により、

(2) $\vec{r}_i\times \vec{F}_{ij}+\vec{r}_j\times \vec{F}_{ji}=(\vec{r}_i-\vec{r}_j)\times \vec{F}_{ij}$

の関係が成り立つ。内力の向き $\vec{F}_{ij}$ はちょうど $\,i$ 番目と $\,j$ 番目の質点間を結ぶベクトル $(\vec{r}_i-\vec{r}_j)$ と同じ向きであることから、(2)は $0$ となり、力のモーメント(1)の総和をとれば、質点系での内力のモーメントは

$\sum_{i} \vec{r}_i\times \sum_{j} \vec{F}_{ij}=0\,\,\,\,\,(i\ne j)$

となる。したがって、質点系での力のモーメントの総和 $\vec{N}$ は外力のモーメントでだけの和で与えられ、角運動量の総和を $\vec{L}$ とすれば次式のようになる。

$\vec{N}\equiv \sum_{i} \vec{N}_i=\sum_{i} \vec{r}_i\times \vec{F}_i=\sum_{i} \frac{d\vec{l}_i}{dt}=\frac{d\vec{L}}{dt},\,\,\,\,\,\sum_{i} \vec{l}_i\equiv \vec{L}$

ゆえに、質点系の全角運動量 $\vec{L}$ の時間的変化の割合は、外力のモーメントの和に等しくなり、内力のモーメントには依存しない。

[編集] 量子力学の角運動量

量子力学では、角運動量は軌道角運動量とスピン角運動量がある。詳しくは各項目を参照。

[編集] 関連項目

角運動量保存の法則
力のモーメント
トルク（回転軸の周りの力のモーメント）
ジャイロスコープ

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最終更新 2009年9月22日 (火) 23:04 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
【角運動量】変更履歴

角運動量 angular momentum
量記号	L
次元	M L ⁻² T ⁻¹
種類	擬ベクトル
SI単位	ニュートンメートル秒 (N·m·s)
プランク単位	有理化されたプランク定数 (ℏ)
表・話・編・歴

角運動量

[編集] 回転運動と角運動量

[編集] 量子力学の角運動量

[編集] 関連項目

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