論理演算

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論理演算（ろんりえんざん、logical operation, logical connection）あるいはブール演算（ブールえんざん、boolean operation）とは、真か偽かの2通りの元（真理値と呼ばれる）しか持たない集合（環の性質を満たすため、ブール環と呼ばれる）における演算である。

論理和（OR）・論理積（AND）・否定（NOT）・排他的論理和（XOR）・含意・同値などがある。

数学の論理学やプログラミング言語などで使われる。プログラミング言語などではビット演算とも言う。

[編集] 公式

論理和 (OR) = $\lor$ 、論理積 (AND) = $\land$ 、否定 (NOT) = $\lnot$ とした場合、以下の法則が成り立つ。

べき等則

$\begin{align} p \lor p &\equiv p \\ p \land p &\equiv p \\ \end{align}$

交換則

$\begin{align} p \lor q &\equiv q \lor p \\ p \land q &\equiv q \land p \\ \end{align}$

結合則

$\begin{align} p \lor(q \lor r) &\equiv (p \lor q)\lor r \\ p \land(q \land r) &\equiv (p \land q)\land r \\ \end{align}$

分配則

$\begin{align} p \lor(q \land r) &\equiv (p \lor q)\land(p \lor r) \\ p \land(q \lor r) &\equiv (p \land q)\lor(p \land r) \\ \end{align}$

吸収則

$\begin{align} p \lor(p \land q) &\equiv p \\ p \land(p \lor q) &\equiv p \\ \end{align}$

ド・モルガンの法則

$\begin{align} \lnot(p \lor q) &\equiv (\lnot p)\land(\lnot q) \\ \lnot(p \land q) &\equiv (\lnot p)\lor(\lnot q) \\ \end{align}$

その他

$\begin{align} &p \lor 0 \equiv p \\ &p \land 0 \equiv 0 \\ &p \lor 1 \equiv 1 \\ &p \land 1 \equiv p \\ &p \lor (\lnot p) \equiv 1 \\ &p \land (\lnot p) \equiv 0 \\ &\lnot(\lnot p) \equiv p \\ \end{align}$