逆元
逆元の最新ニュースをまとめて検索！
数学において逆元 （ぎゃくげん、英語: inverse element）とは、数の加法に対する反数や乗法に関する逆数の概念の一般化で、大雑把に言えば、与えられた元の別の元への演算を打ち消す効果のある元のことである。
目次 |
[編集] 定義
集合 S に二項演算 • と • に関する単位元 e を持つ代数系 (S, •, e) を考える。S の元 a, b に対して、
- a • b = e
となるとき、a を演算 • に関する b の左逆元（ひだりぎゃくげん、さぎゃくげん、left inverse element）、b を演算 • に関する a の右逆元（みぎぎゃくげん、うぎゃくげん、right inverse element）という。またこのとき、b は左可逆（ひだりかぎゃく、さかぎゃく、left invertible）、aは右可逆（みぎかぎゃく、うかぎゃく、right invertible）であるという。S の元 x に対して、S の元 y で x の左逆元かつ右逆元であるようなものが存在するとき、つまり
- x • y = y • x = e
が満たされるとき、y は演算 • に関する x の両側逆元（りょうがわぎゃくげん、two-sided inverse element）あるいは単に逆元であるといい、x は可逆（かぎゃく、invertible）であるという。このとき、y も可逆であり、x は y の逆元になる。可逆元と呼ぶ代わりに、単元（たんげん、unit; 単数）や正則元（せいそくげん、regular element）などと呼ぶこともある。元 x が唯一の逆元を持つとき、その唯一の逆元は "x−1" あるいは演算が加法的であるときには "−x" などと表される。加法的逆元はマイナス元とも呼ばれる。
代数系 (S, •) の演算 • が結合的であるとき、S の元x が左逆元 a ∈ S と右逆元 b ∈ S を持てば、x は可逆で、a = b がその唯一の両側逆元となる。このとき、可逆元の全体は S の単元群（たんげんぐん、group of units）と呼ばれる群を成す。S の単元群は U(S), S*, S× などで表されることが多い。
[編集] 例
x が実数なら、x は実数の加法に関する逆元（加法的逆元、反数） −x を必ず持つ。0 でない実数 x の乗法に関する逆元（乗法的逆元） 1⁄x は逆数と呼ばれる。x = 0 は乗法的逆元を持たない元の例である。
ある体あるいは可換環 K 上の正方行列が行列の乗法に関して可逆となることと、その行列式が K 内で可逆であることとは同値である。特に体上の行列が可逆となるのは、その行列式が 0 でないことと述べられる。行列式が 0 となるならば、逆元を持たないが、同時に、左逆元も右逆元も持ち得ない。実際、左逆元あるいは右逆元が存在するならば、反対側の逆元も存在して、可逆となるからである。
写像 f: A → B が写像の合成に関して左可逆であるとは、写像 g: B → A で
を満たすものが存在することをいい、g を f の左逆写像と呼ぶ。同様に、f の右逆写像 g: B → A は
を満たすものとして定義される。右可逆だが左逆を持たない写像、左可逆だが右逆のない写像などはたくさんある。
[編集] 一般化
[編集] 半群の場合
単位元の存在が明らかではない、半群などの代数系では、元 a 対する擬逆あるいは逆と呼ばれる元 b を
- aba = a
の成立によって定める。このような b のとれる元 a は擬正則あるいは正則と呼ぶ。考えている代数系が群ならば、ここでの正則性が、上記の通常の意味での可逆性を定めることが確かめられる。
擬似逆行列の項も参照。
[編集] 単位的でない環の場合
詳細は「ジャコブソン根基」を参照
また、必ずしも乗法単位元を持たない結合環 (K, +, 0, ×) において、擬乗法と呼ばれる演算
- x * y = x + y − xy
を考えたとき、擬乗法に関する単位元は加法の単位元と同じ零元 0 であり、
- x * y = 0
が満たされるときの x を y の左擬逆元、y を x の右擬逆元とよぶ。x が左擬可逆かつ右擬可逆ならば、x は擬正則であるという。K が通常の乗法に関して単位元 1 をもつとき、
となるので、x の擬正則であることと 1 − x が通常の意味での乗法に関して可逆であることとが同値になる。
局所環の項も参照
