部分集合

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部分集合（ぶぶんしゅうごう、subset; 下位集合）とは、ある別の集合に全体がすっぽりと収まるような集合のことである。大きいほうの集合の一部分であるという意味で部分集合という。二つの集合の一方が他方の部分集合であるとき、この二つの集合の間に包含関係があるという。

真部分集合のオイラー図による視覚化

[編集] 定義

集合 A, B が存在して x ∈ A なるものは全て x ∈ B をも満たすという関係が成り立つ時、

A ⊆ B または A ⊂ B

と表して、集合 A を集合 B の部分集合と呼ぶ。「A は B に（部分集合として）含まれる（contained; 包含される）」、「A は B に包まれる（included; 包摂あるいは内包される）」などといいまわすこともある。またこのとき、B を A の上位集合（じょういしゅうごう、superset; スーパーセット）と呼ぶことがある。上位集合 B からみれば A が部分集合であることは「B は A を含む（包含する）」、「B は A を包む（包摂する）」などと表現される。

単に、x が集合 X に含まれると言った場合、x が部分集合として含まれるのか元（要素）として含まれるのかについて、言葉の上では紛らわしく、使用される文脈に注意すべきである。

部分集合であることの否定 "A ⊄ B" は、A の元 x で x ∈ B とならないものが存在することを意味する。このとき、y ∈ B となる A の元 y が存在するかどうかは問題にならない。

ある集合において、その部分集合の間の包含関係は、部分集合全体の成す集合（冪集合）における二項関係である。この二項関係は順序関係を定める。

[編集] 記法

包含関係を表す条件 [x ∈ A ならば x ∈ B] は A と B が等しいときにも成り立つことに注意すべきである。すなわち、どんな集合 X も X 自身の部分集合たり得る。A ⊆ B かつ A ≠ B なるときには、集合 A を集合 B の真部分集合（しんぶぶんしゅうごう、proper subset）あるいは狭義（strict; 強い意味で）の部分集合と呼ぶ。

例えば、P = {4, 10}, Q = {1, 4, 7, 10, 13} であるとき、P ⊆ Q である。 このとき、P ≠ Q も成立するので、P は Q の真部分集合である。

部分集合であることと真の部分集合であることとを区別しなければならない文脈において、これらの曖昧さを回避するための記法については、いくつかの流儀がある。包含関係を順序と見なす場合に、順序関係の記法における [≤ かつ ≠] なるとき < と記す記号の慣例の類似で、記号 ⊂ を [⊆ かつ ≠] であるという意味に用いることは自然である。一方、記号 ⊊ を用いたり ≠ であることを付記するならば、（部分集合を表す記号がどうあっても）紛れなく真部分集合を表すことは明らかであるので、このような記法も好まれる。

[編集] 基本的な性質

以下、P,Q,Rを集合、Sを全体集合とする。

• 空集合 ∅ はすべての集合の部分集合である。
• P⊆P
• P⊆QかつQ⊆PならばP=Qであり、また逆も真である。
• P⊆QかつQ⊆RならばP⊆Rである。
• P⊆S
• P⊆P∪Q
• P⊆RかつQ⊆RならばP∪Q⊆R
• P∩Q⊆P
• R⊆PかつR⊆QならばR⊆P∩Q
• 以下は同値である。
  • P⊆Q
  • P∩Q=P
  • P∪Q=Q
  • P−Q=∅
  • Qの補集合⊆Pの補集合

[編集] 関連項目

• 集合代数ckb:ژێرکۆمەڵ