重根 (多項式)

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重根（じゅうこん、英称：multiple root）とは、1 変数多項式 f(x) の根のうち重複度が2以上のもののことをいう。

[編集] 概要

1 変数多項式 f(x) が、定数 a≠0 ,α₁,α₂, … α_n を用いて

$f(x) = a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$

の形に因数分解され、α₁, α₂, ..., α_n の中に 2 つ以上同じ値がある場合、その値を f(x) の重根という。

方程式 f(x) = 0 の解は一般に

$\left\{\begin{matrix} y&=&f(x) \\ y&=&0 \end{matrix}\right.$

つまり xy-座標系において y = f(x) と x 軸との交点の x 座標である。 f(x)が1変数多項式のとき、 y = f(x) がx=αで x 軸に接するなら、αは f(x) の重根となる。したがってf(x)はx=αでの微分も0となり、x=αがf(x) の重根であることと

$\left\{\begin{matrix} f(\alpha)&=&0 \\ f'(\alpha)&=&0 \end{matrix}\right.$

であることは同値である。

[編集] 定義

体 K 上の多項式 f(x) と K の元 α に対し、(x - α)² | f(x) が成立するとき、すなわち 2 以上の自然数 k と多項式 g(x) で

f (x) = (x - α) k g (x)

を満たすものが存在するとき、α を f(x) の重根という。特に g(x) が α を根に持たないならば、k を根 α の重複度（じゅうふくど、ちょうふくど、multiplicity）という。

[編集] 判別式

多項式 f(x) の根を α₁, α₂, ..., α_n とし、その全体から作られる最簡交代式（差積）の平方

$D_f := \prod_{1\leq i < j\leq n}(\alpha_i -\alpha_j)^2$

を多項式 f(x) あるいは方程式 f(x) = 0 の判別式（はんべつしき、discriminant）という。

これは「代数方程式が重根を持つかどうか」を判別するための式である。すなわち、判別式が 0 であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の係数によって必ず記述できるからである。これは、