関数方程式

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数学、及びその応用分野において、関数方程式は、単一の（または複数の）関数のある点と他の点での値の関係を示す方程式である。 関数の性質は、与えられた条件を満たす関数方程式の種類などをもとに決定することができる。通常は代数方程式に帰着できない方程式を指す。

[編集] 例

f(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)f(1-s)
を満たす。ただし大文字の Γ はガンマ関数である。
  • ガンマ関数は以下の関数方程式を満たす。ガンマ関数は、3方程式を満たす唯一の関数である。
f(x)={f(x+1) \over x}\,\!
f(y)f\left(y+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2y-1}}f(2y)
f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\, （オイラーの反射公式）
  • 関数方程式
f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)\,\!
は k 次の保型形式を定義する。ただし a、b、c、d は ad − bc = 1 を満たす整数とする。
  • その他にも多くの例を挙げることができる。
すべての指数関数は f(x + y) = f(x)f(y)\,\! を満たす。
すべての対数関数は f(xy) = f(x) + f(y)\,\! を満たす。
f(x + y) = f(x) + f(y)\,\! （コーシーの関数方程式）
f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)]\,\! （2次方程式)
f((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2\,\! （Jensen）
g(x + y) + g(x - y) = 2[g(x) g(y)]\,\! （d'Alembert）
f(h(x)) = cf(x)\,\! （Schröder 方程式）
f(h(x)) = f(x) + 1\,\! （Abel 方程式）
  • 漸化式は関数方程式の一種である。
例
a(n) = 3a(n-1) + 4a(n-2)\,\!
  • 交換律、結合律は関数方程式である。通常、結合律は2変数間の2項演算に関する関係
(a*b)*c = a*(b*c).\,

を指すが、a * b を f(a,b) と書けば、

f(f(a, b),c) = f(a, f(b, c))\,\!

である。

上の例に共通しているのは、既知の関数（またはその変形）が解くべき未知の関数に代入される点である。

[編集] 解法

関数方程式の求解は非常に難しいこともあるが、いくつかの解法が知られている。

対合を考えることは有益である。例えば、関数

f(x) = \frac{1}{x}

を考え、次に

f(f(x)) = x \,

を考える。これは偶数回の合成でx、奇数回の合成でf(x)となる。

f(x) = \frac{1}{1-x}, f(x) = 1-x

なども同様である。

例1: 実数値関数fに関する方程式 f(x+y)^2 = f(x)^2 + f(y)^2, x,y \in \mathbb{R} を解くことを考える。x=y=0 \, とすると、f(0)^2=f(0)^2+f(0)^2 \,。よって f(0)^2=0, f(0)=0 \,。

y=-x \,とすると、

f(x-x)^2=f(x)^2+f(-x)^2 \,
f(0)^2=f(x)^2+f(-x)^2 \,
0=f(x)^2+f(-x)^2 \,

よってすべてのxについて f(x)^2=0 \, となるので、f(x)=0 \, が唯一の解である。

[編集] 外部リンク

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最終更新 2009年10月1日 (木) 18:44 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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