0の0乗

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0の0乗（0の0じょう）とは何か、ということはしばしば初学者の議論となるところであるが、これはただ数学用語を組み合わせただけの言葉であって、特別な意味は持たない。すなわち、標準的な教科書においては0の0乗は定義されない。

0の0乗が通常定義されないのは、2変数関数 x^y が、原点 (0, 0) において値をどのように定義しても連続にならないことが理由の一つである。もっとも、0の0乗に対して特定の実数値を定義する場合もある。ただし、それは数学的必然性によるものでなく、あくまで便宜的なものである。

[編集] 定義されないことの説明

冪乗は次のように帰納的に定められる。

x¹ = x,

xⁿ⁺¹ = xⁿ × x (n ≥ 1).

0乗を定義する際は、関係 xⁿ⁺¹ = xⁿ × x が n = 0 でも成り立つように定めるのが自然である。よって、x = x⁰ × x より、x が 0 でなければ x⁰ = x/x = 1 となる。しかし、x = 0 の場合は 0/0 が定義されないため（ゼロ除算参照）、この考え方で0の0乗の値を定めることはできない。

x ≠ 0 のとき x⁰ = 1 であるから、0の0乗を 1 と定めることが自然であると考えられる一方、n が正の整数のとき 0ⁿ = 0 であるから、0の0乗を 0 と定めることも自然であると考えられる。このように、こちらを立てればあちらが立たず、という状況であり、全てに都合の良い定め方はない。

このことを関数の考え方を用いて説明するならば、次のようになる。関数 x⁰ の x → 0 に対する極限をとるならば 1 となり、関数 0^x の x → +0 に対する極限をとるならば 0 となる^[1]。このふたつの極限値が異なるため、通常は0の0乗を定めないのである。

[編集] 1と定義する考え方

しばしば、0の0乗は 1 と定義される。例えば、計算機科学者のドナルド・クヌースは、1 と定義するのが妥当だという考えを表明している^[2]。彼によると「0^x という関数は数学的意義に乏しいのに対し、x⁰ は様々な公式に頻繁に現れるため、こちらを基準に取る方が形式的に便利な局面が多い」という。例えば、二項定理の公式

$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k$

は、0⁰ = 1 としたときのみ x = 0 に対して適用可能になる。クヌースのこの意見は、彼が離散数学、組み合わせ論のバックグラウンドを持つことを反映している。この定義はあくまで利便性に基づくものであり、数学的必然性とは区別すべきである。

同様の例として、指数関数の定義式

$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}$

が x = 0 でも妥当であるためには 0⁰ = 1 である必要がある。0⁰ を定義しない文脈においては

$e^{x} = 1 + \sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}{n!}$

と定義しなければならない。

数学的意義を多少持っている説明としては、「非負の整数 x, y に対し『x の y 乗』は、y 個の要素を持つ集合 A から x 個の要素を持つ集合 B への写像 f: A → B が何通りあるかを数えたもの」とする考え方がある。数学基礎論や集合論をバックグラウンドに持つ者が好む説明である。例として A = { a, b, c }, B = { α, β } を考えると、A から B への写像は8通りあることから、この定義が通常の「x の y 乗」の定義と一致することが了解されよう。この考え方では、空集合から空集合への写像はまさに「空集合から空集合への写像」（空写像）という一通りしかないことから、0の0乗は 1 という値を持つ。

[編集] 冪関数が連続性を持たないこと

関数 z = abs(x^y) をプロットしたものの概形（abs は絶対値を表す）。x と y が様々な関係を保って（赤や緑の曲線）原点に接近するとき、z は様々な極限値をとり得る。緑の曲線は、そのうちで z の極限が 1 となるものである。

z = abs(x^y) の原点近くでのより正確な形状。溝のように見える部分が y 軸の正の部分。z 軸上に点は存在しないが、正の部分にはいくらでも近くに点が存在する。

0⁰ をどのように定義しても、2変数関数 x^y が原点において連続とならない理由は、前述の1変数関数の極限より明らかである。すなわち xy 平面において直線 x = 0 に沿って（正の方向から）原点に近づくときと、直線 y = 0 に沿って原点に近づくときとで、異なる極限を持つ（それぞれ 0, 1）。

一般に、複素関数としての冪関数（べきかんすう）x^y は

$x^y=e^{y\log x}\,$

で定義される。ここに、対数関数 log は、指数関数の逆関数であり、真数が正の実数である対数関数 ln を既知として

$\log x=\ln |x|+i(\arg x+2n\pi)\,$ （n は整数、arg は偏角）

で与えられる（n が動くので一般には多価の）関数である。対数関数の多価性より、冪関数も多価である（y が整数のときは一価であり、通常の冪に一致する）。対数関数は 0 に特異点を持つので、上記の冪関数の定義では 0^y が定まらないが、通常 y が正の実数のときは 0^y = 0 と定義し、その他の y では定義しない。

以下、x と y は共に実数であるとする。その場合でも冪 x^y は実数とは限らない。x > 0 のときは、中等教育で学ぶように x^y の値として実数値を選ぶことができるが、その値に e^2nπiy（n は整数）を掛けたものも x^y の値である。x < 0 の場合も状況は似ており、ある一つの値（実数とは限らない）に e^2nπiy を掛けたもの全てが x^y の値である。しかし、e^2nπiy の絶対値は 1 であるから、|x^y| は実数値を取る一価関数とみなせる。画像はそのグラフを表示したものであり、これを見れば正の実数 y に対して 0^y = 0 と定義すること、0⁰ はうまく定義されないことが了解されよう。

[編集] 不定形

0⁰ という記号は、しばしば不定形 (en) の意味で用いられる。すなわち f(x) と g(x) の極限が共に 0 であるときの、f(x)^g(x) の極限を考えていることを表す。この極限は一定しないのであって、例えば定数 0 ≤ c < 1 に対して

$\lim_{x \to 0} \left( c^{1/|x|} \right)^{|x|}=c$

である。したがって 0⁰ を数としてどのように定義しても

$\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}=\left( \lim_{x \to a}f(x) \right)^{\displaystyle \lim_{x \to a}g(x)}$

は一般には成り立たない。

[編集] プログラミング言語における扱い

いくつかのプログラミング言語は 0⁰ を定義しており、その多くは 1 としている。1 と定義しているものは、Java、Python、Ruby、Haskell、ML、Scheme、MATLAB、Microsoft Windows の電卓、Google の電卓機能^[3]などである。Microsoft Excel では、ワークシート上で =0^0 という数式を入力すると #NUM! というエラーを返すが、同ソフトウェアに搭載されている VBA では1と定義されている^[4]。 Mathematica は、a が変数または 0 でない数のときは a⁰ を 1 と計算するが、0⁰ は Indeterminate（不定）と返す。Maple はこれら全てを 1 と計算する。

[編集] 脚注

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^ ここに、x → +0 は x が正の方向から 0 に近付くことを表す。なお、負の数 x に対して 0^x は定義されない。
^ グレアム、クヌースおよびパタシュニク『コンピュータの数学』共立出版、1993年 (ISBN 4-320-02668-3)
^ Google電卓機能による 0^0の計算結果
^ 具体的には、Visual Basic Editor（VBE）のイミディエイトウィンドウ上で ?0^0 と打ち、Enter を押すと 1 と出てくる。

最終更新 2009年10月24日 (土) 06:50 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
【0の0乗】変更履歴

[0] ここに、x → +0 は x が正の方向から 0 に近付くことを表す。なお、負の数 x に対して 0^x は定義されない。

[1] グレアム、クヌースおよびパタシュニク『コンピュータの数学』共立出版、1993年 (ISBN 4-320-02668-3)

[2] Google電卓機能による 0^0の計算結果

[3] 具体的には、Visual Basic Editor（VBE）のイミディエイトウィンドウ上で ?0^0 と打ち、Enter を押すと 1 と出てくる。

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