q超幾何級数

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数学において、q超幾何級数（qちょうきかきゅうすう、q-hypergeometric series）は超幾何級数のqアナログである。q超幾何級数は

$\begin{align} &_r\phi_s\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_s\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1;q)_n(a_2;q)_n\dots(a_r;q)_n}{(b_1;q)_n(b_2;q)_n\dots(b_s;q)_n(q;q)_n}\left((-1)^nq^{n(n-1)/2}\right)^{s+1-r}z^n\\ &_r\psi_s\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_s\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a_1;q)_n(a_2;q)_n\dots(a_r;q)_n}{(b_1;q)_n(b_2;q)_n\dots(b_s;q)_n}\left((-1)^nq^{n(n-1)/2}\right)^{s-r}z^n\\ \end{align}$

の形式で表される級数^[1]であるが、中でも

$\begin{align} &_r\phi_{r-1}\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_{r-1}\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1;q)_n(a_2;q)_n\dots(a_r;q)_n}{(b_1;q)_n(b_2;q)_n\dots(b_{r-1};q)_n(q;q)_n}z^n\\ &_r\psi_r\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_{r}\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a_1;q)_n(a_2;q)_n\dots(a_r;q)_n}{(b_1;q)_n(b_2;q)_n\dots(b_r;q)_n}z^n\\ \end{align}$

が多く研究されている。但し、

$\begin{align} &(x;q)_0=1\\ &(x;q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1+xq^k)\\ \end{align}$

はqポッホハマー記号である。なお、厳密にいうと、右辺の級数がq超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義されるq超幾何関数を表すものである。

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[編集] 出典

^ Wolfram Mathworld: q-Hypergeometric Function

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最終更新 2009年10月10日 (土) 13:41 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
【q超幾何級数】変更履歴

[0] Wolfram Mathworld: q-Hypergeometric Function

[1]

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