t分布

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t分布（ティーぶんぷ）は確率分布の一種で、特にt検定に利用される。

X₁, ..., X_n が、平均μ 、分散σ² の正規分布に従う独立でランダムな変数であるとする。また標本平均を

$\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n$

とし、不偏分散を

$U_n^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}_n\right)^2$

とする。ここで次の変数

$T=\frac{\overline{X}_n-\mu}{U_n/\sqrt{n}}$

を考えると、これは

$f(t) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi\,}\,\Gamma(\nu/2)} (1+t^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}$

（ただしν = n − 1、 $Γ$ はガンマ関数）という確率密度関数に従うことが、ゴセットによって示された。ここでT の従う分布をt分布（またはスチューデント分布）と呼ぶ。ν は自由度と呼ばれる。この分布はν によるが、もとの正規分布の母数であるμ やσ にはよらない。この性質から、標本値から母集団の平均値を統計的に推定する区間推定や、母集団の平均値の仮説検定に利用できる。

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非心t分布

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最終更新 2009年10月10日 (土) 14:01 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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