コーシーの積分定理
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コーシーの積分定理（コーシーのせきぶんていり、Cauchy's integral theorem）は、コーシーの第1定理ともいわれ、コーシーによって示された、数学、特に微分積分学において、ガウス平面上である領域において正則である関数の経路積分についての定理で、複素積分における代表的な定理である。
[編集] 定理など
コーシーの積分定理は次のように記述されることが多い。
Dを単連結領域とし、f(z)はD上で正則である関数とするとき、CをD内にある長さを持つ閉曲線とすると、
つまり、ある領域を囲む曲線で複素積分をするとき、領域内に正則ではない部分が存在しない場合には積分の値は0となることを主張している。
この定理はまた、正則関数が無限回微分できる性質の裏返しでもある。経路積分とは定積分であるから、領域内に F'=f となるような別の正則関数 F が存在する場合に、始点と終点を定めれば経路によらず
となる。この時閉曲線、つまり始点と終点が一致する場合に値が0になることは自明である。コーシーの積分定理は、単連結領域上の正則関数には、このようなFが常に存在することを意味している。
[編集] 証明
上に書いた形でのコーシーの積分定理は、20世紀にグールサによって証明された。それまでの証明では f の微分可能性だけでなく、導関数の連続性が仮定されていた。
[編集] 関連項目
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最終更新 2009年11月10日 (火) 15:37 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
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