楕円関数

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楕円関数（だえんかんすう、elliptic function）とは、複素平面上で二重周期を持つ有理型（離散する極を除いて正則）の一価関数をいう。楕円関数論とは、種数1のリーマン面の理論である。狭義には、ヤコービの楕円関数、或いはワイヤーストラスの楕円関数をいう。

楕円関数は19世紀にアーベルによって拡張されて数学の中心的な研究分野となった。ルジャンドル、ヤコービ、アーベル、ワイエルシュトラス、リーマン、クロネッカー、ポアンカレなどがこの分野で研究を行った。楕円曲線（種数1のコンパクトリーマン面）と密接な関係がある。

[編集] 定義

複素平面上で二重周期を持つ有理型の関数を楕円関数という。これは f が楕円関数であるとき、

$\omega_1,\omega_2 \in \mathbb{C}^*,\quad \tau = \omega_1/\omega_2 \notin \mathbb{R}$

となる複素数 ω₁, ω₂ で、

$f(x+a\omega_1+b\omega_2)=f(x) (\forall a,b \in \mathbb{Z})$

が成り立つものが取れるという意味である。 $τ$ を周期比と呼ぶ。この ω₁, ω₂ を楕円関数 f の周期という。楕円関数を与える方法としてしばしば、ローラン展開を与える方法、二つの整関数の商で表す方法、という二つのものが使われる。ワイエルシュトラスの関数はローラン展開を与える方法を使い、テータ関数は後者の方法を使っている。周期の代わりに二分周期 (half-period) を考えることも多い。つまり

$f (z) = f (z + 2ω 1) = f (z + 2ω 2)$

となるような ω₁, ω₂ を考え、これを半周期というのである。二つの周期の作る基本領域

$D=\{z=z_0+2x\omega_1+2y\omega_2|0\le{x,y}<1\}$

を周期平行四辺形と呼ぶ。

[編集] 楕円関数の位数

楕円関数の周期平行四辺形に含まれる極の位数の合計を楕円関数の位数という。リウヴィルの定理により、全平面で有界な解析関数は定数以外に存在しない。従って、定数以外の楕円関数は周期平行四辺形の内に必ず極を持つ。楕円関数の周期平行四辺形を一巡する線積分を考える。ただし、積分経路の上に極がある場合は $ζ$ を僅かに動かして極を避けるものとする。

$\begin{align}\oint_{C}f(z)dz &=\int_{\zeta}^{\zeta+2\omega_1}f(z)dz+\int_{\zeta+2\omega_1}^{\zeta+2\omega_1+2\omega_2}f(z)dz+\int_{\zeta+2\omega_1+2\omega_2}^{\zeta+2\omega_2}f(z)dz+\int_{\zeta+2\omega_2}^{\zeta}f(z)dz\\ &=\left(\int_{\zeta}^{\zeta+2\omega_1}f(z)dz+\int_{\zeta+2\omega_1+2\omega_2}^{\zeta+2\omega_2}f(z)dz\right)+\left(\int_{\zeta+2\omega_1}^{\zeta+2\omega_1+2\omega_2}f(z)dz+\int_{\zeta+2\omega_2}^{\zeta}f(z)dz\right)\\ &=\left(\int_{\zeta}^{\zeta+2\omega_1}f(z)dz+\int_{\zeta+2\omega_1}^{\zeta}f(z)dz\right)+\left(\int_{\zeta}^{\zeta+2\omega_2}f(z)dz+\int_{\zeta+2\omega_2}^{\zeta}f(z)dz\right)\\ &=0 \end{align}$

これは楕円関数の周期平行四辺形に含まれる極の留数の合計が0になることを意味する。しかし、位数1の極は必ず留数を持つから、位数1の楕円関数は存在しえない。従って、定数以外の楕円関数の位数は2以上である。

偏角の原理によれば、 $f (z)$ が領域 $C$ 内に持つ零点の位数の合計を $N$ とし、極の位数の合計を $P$ とするとき、

$\frac{1}{2{\pi}i}\oint_{C}\frac{f'(z)}{f(z)}dz=N-P$

が成り立つ。 $f (z)$ が楕円関数であれば $\frac{f'(z)}{f(z)}$ も同じ周期の楕円関数であるから、楕円関数が周期平行四辺形に含まれる零点の個数は重複度を考慮すれば楕円関数の位数に等しい。さらに、 $f (z) - c$ の零点の個数を考えれば、楕円関数は周期平行四辺形毎に位数と同じ回数だけ全ての複素数値を取ることが分かる。

[編集] ヤコービの楕円関数

[編集] 定義

ヤコービの楕円関数は第一種楕円積分の逆関数として定義される古典的な楕円関数である。即ち、

$u=F(x,k)=\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}}dt} =\int_0^\phi{\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta}$

のとき、

$\operatorname{sn}\,u = \operatorname{sn}(u,k) = F^{-1}(u,k) = x = \sin\phi,$
$\operatorname{cn}\,u = \sqrt{1-\operatorname{sn}^2{u}} = \cos\phi,$
$\operatorname{dn}\,u = \sqrt{1-k^2\operatorname{sn}^2{u}} = \sqrt{1-{k^2}\sin^2{\phi}}.$
$\operatorname{ns}\,u = 1/\operatorname{sn}u=\operatorname{cosec}\phi,\quad \operatorname{nc}\,u = 1/\operatorname{cn}u=\operatorname{sec}\phi,\quad \operatorname{nd}\,u = 1/\operatorname{dn}u.$
$\operatorname{sc}\,u = \operatorname{sn}u/\operatorname{cn}u=\tan\phi,\quad \operatorname{cs}\,u = \operatorname{cn}u/\operatorname{sn}u=\cot\phi$
$\operatorname{sd}\,u = \operatorname{sn}u/\operatorname{dn}u,\quad \operatorname{ds}\,u = \operatorname{dn}u/\operatorname{sn}u$
$\operatorname{cd}\,u = \operatorname{cn}u/\operatorname{dn}u,\quad \operatorname{dc}\,u = \operatorname{dn}u/\operatorname{cn}u$

をヤコービの楕円関数という。 $k$ を母数という。母数は $0 < | k | < 1$ とするのが普通であるが、極限を考えて $k = 0$ とすると三角関数、 $k = 1$ とすると双曲線関数が現れる。

[編集] 基本関係式

定義から直ちに次の恒等式

$\operatorname{sn}^2\,u + \operatorname{cn}^2\,u = 1$
$k^2\operatorname{sn}^2\,u + \operatorname{dn}^2\,u = 1$
$\operatorname{dn}^2\,u - k^2\operatorname{cn}^2\,u = 1-k^2$

の成立が確認できる。

$\bar{k}^2=1-k^2$

とおくと、複素変数に対する関数の値は

$\operatorname{sn}(u+iv,k) =\frac{\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(v,\bar{k}) +i\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)\operatorname{sn}(v,\bar{k})\operatorname{cn}(v,\bar{k})} {1-\operatorname{dn}^2(u,k)\operatorname{sn}^2(v,\bar{k})}$
$\operatorname{cn}(u+iv,k) =\frac{\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{cn}(v,\bar{k}) -i\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{dn}(u,k)\operatorname{sn}(v,\bar{k})\operatorname{dn}(v,\bar{k})} {1-\operatorname{dn}^2(u,k)\operatorname{sn}^2(v,\bar{k})}$
$\operatorname{dn}(u+iv,k) =\frac{\operatorname{dn}(u,k)\operatorname{cn}(v,\bar{k})\operatorname{dn}(v,\bar{k}) -ik^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)\operatorname{sn}(v,\bar{k})} {1-\operatorname{dn}^2(u,k)\operatorname{sn}^2(v,\bar{k})}$

実数の関数値の有理式で与えられる。即ち、ヤコービの楕円関数は複素平面上の有限なところで解析的である。とくに

$\operatorname{sn}(iv,k) = i\operatorname{sc}(v,\bar{k}^2)$
$\operatorname{cn}(iv,k) = \operatorname{nc}(v,\bar{k}^2)$
$\operatorname{dn}(iv,k) = \operatorname{dc}(v,\bar{k}^2)$

が成立する。また、

$\bar{K}=\lim_{\epsilon\to+0}F(1-\epsilon,\bar{k})$

とすると

$\operatorname{sn}(u+4K) = \operatorname{sn}\,u,\quad \operatorname{cn}(u+4K) = \operatorname{cn}\,u,\quad \operatorname{dn}(u+4K) = \operatorname{dn}\,u.$
$\operatorname{sn}(u+4i\bar{K},k) = \operatorname{sn}(u,k),\quad \operatorname{cn}(u+4i\bar{K},k) = \operatorname{cn}(u,k),\quad \operatorname{dn}(u+4i\bar{K},k) = \operatorname{dn}(d,k)$

となる。

[編集] 周期と零と極

第一種完全楕円積分 $K = K (k)$ 及び $iK'=iK(k')=iK(\sqrt{1-k^2})$ を楕円関数の四半周期といい、 $τ = i K' / K$ を周期比という。その名の通り $4 K$ 及び $4 i K'$ は母数 $k$ の楕円関数の周期となっているが、必ずしも基本周期ではない。楕円関数の周期と零と極を下表に示す。

関数	$\operatorname{sn}(u,k)$	$\operatorname{cn}(u,k)$	$\operatorname{dn}(u,k)$
周期	$4 K,2 i K'$	$4 K,4 i K',2 K + 2 i K'$	$2 K,4 i K'$
零の位置	$2 n K + 2 m i K'$	$(2 n + 1) K + 2 m i K'$	$(2 n + 1) K + (2 m + 1) i K'$
極の位置	$2 n K + (2 m + 1) i K'$	$2 n K + (2 m + 1) i K'$	$2 n K + (2 m + 1) i K'$
$f (0)$	$0$	$1$	$1$
$f (K)$	$1$	$0$	$k'$
$f (2 K)$	$0$	$- 1$	$1$
$f (3 K)$	$- 1$	$0$	$k'$
$f (i K)$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
$f (2 i K)$	$0$	$- 1$	$- 1$
$f (3 i K)$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
$f (K + i K')$	$1 / k$	$- i k' / k$	$0$
$f (2 K + 2 i K')$	$0$	$1$	$- 1$
$f (3 K + 3 i K')$	$- 1 / k$	$- i k' / k$	$0$

[編集] 微分方程式

$u=F(\phi,k)=\int_0^\phi{\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta}$

であるから、

$\frac{du}{d\phi}=\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}$
$\frac{d\phi}{du}=\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}=\operatorname{dn}{u}$

となる。これにより、導関数を得る。

$(\operatorname{sn}\,u)' = \frac{d}{du}\sin\phi=\cos\phi\frac{d\phi}{du} = \operatorname{cn}u\operatorname{dn}u$
$(\operatorname{cn}\,u)' = \frac{d}{du}\cos\phi=-\sin\phi\frac{d\phi}{du} = -\operatorname{sn}u\operatorname{dn}{u}$
$(\operatorname{dn}\,u)' = \frac{d}{du}\sqrt{1-{k^2}\operatorname{sn}^2{u}} = -\frac{k^2\operatorname{sn}\,u \operatorname{sn}'\,u }{\sqrt{1-{k^2}\operatorname{sn}^2\,u }} = -k^2\operatorname{sn}u\;\operatorname{cn}\,u$

特に、楕円関数は以下の微分方程式の境界値問題

$y = \operatorname{sn}\,u \iff (y')^2 = (1 - y^2)(1 - k^2y^2);\; y(0) = 0,\; y'(0) > 0,$
$y = \operatorname{cn}\,u \iff (y')^2 = (1 - y^2)(k^2y^2 + (1 - k^2)); \;y(0)>0,\;y'(0)=0$
$y = \operatorname{dn}\,u \iff (y')^2 = (1 - y^2)(y^2 - (1 - k^2));\; y(0) > 0,\; y'(0) = 0$

によって特徴付けられる。また、二階導関数は、

$(\operatorname{sn}\,u)'' = 2k^2\operatorname{sn}^3\,u - (1+k^2)\operatorname{sn}\,u$
$(\operatorname{cn}\,u)'' = -2k^2\operatorname{cn}^3\,u - (1-2k^2)\operatorname{cn}\,u$
$(\operatorname{dn}\,u)''= -2\operatorname{dn}^3\,u + (2-k^2)\operatorname{dn}\,u$

となるから、

$y = \operatorname{sn}\,u \iff y'' = 2k^2y^3 - (1 + k^2)y;\; y(0) = 0,\; y'(0) = 1$
$y = \operatorname{cn}\,u \iff y'' = -2k^2y^3 - (1 - 2k^2)y;\; y(0) = 1,\; y'(0) = 0$
$y = \operatorname{dn}\,u \iff y'' = -2y^3 + (2 - k^2)y;\; y(0) = 1,\; y'(0) = 0$

上記の微分方程式の境界値問題の解としても特徴付けられる。

[編集] 加法定理

次の公式が楕円関数について成立する。

$\operatorname{sn}(u+v) = \frac{\operatorname{sn}\,u\,\operatorname{cn}\,v\, \operatorname{dn}\,v + \operatorname{cn}\,u\, \operatorname{dn}\, u\, \operatorname{sn}\,v}{1 - k^2\,\operatorname{sn}^2\,u\,\operatorname{sn}^2\,v}$
$\operatorname{cn}(u+v) = \frac{\operatorname{cn}\,u\,\operatorname{cn}\,v - \operatorname{sn}\,u\,\operatorname{dn}\,u\,\operatorname{sn}\,v\,\operatorname{dn}\,v}{1 - k^2\,\operatorname{sn}^2\,u\,\operatorname{sn}^2\,v}$
$\operatorname{dn}(u+v) = \frac{\operatorname{dn}\,u\,\operatorname{dn}\,v - k^2\,\operatorname{sn}\,u\,\operatorname{cn}\,u\,\operatorname{sn}\,v\,\operatorname{cn}\,v}{1 - k^2\,\operatorname{sn}^2\,u\,\operatorname{sn}^2\,v}$

が成り立つ。三角関数や双曲線関数についての加法定理

$\sin (u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v\,$
$\cos (u+v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v\,$
$\tanh (u+v)=\frac{\tanh u+\tanh v}{1+\tanh u \tanh v}$
$\operatorname{sech}(u+v)=\frac{\operatorname{sech}\,u\operatorname{sech}\,v}{1+\tanh u\tanh v}$

はこれの特別の場合である。

[編集] ランデン変換

次の恒等式を上昇ランデン変換という。

$\operatorname{sn}\left(u,k\right)=\frac{\tfrac{2}{1+k}\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)\operatorname{cn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)}{\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)}$
$\operatorname{cn}\left(u,k\right)=\frac{\tfrac{2}{1+k}\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)-\tfrac{1-k}{1+k}}{\tfrac{4k}{(1+k)^2}\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)}$
$\operatorname{dn}\left(u,k\right)=\frac{\tfrac{2k}{1+k}\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)+\tfrac{1-k}{1+k}}{\tfrac{4k}{(1+k)^2}\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+k}{2}u,\tfrac{2\sqrt{k}}{1+k}\right)}$

次の恒等式を下降ランデン変換という。

$\operatorname{sn}\left(u,k\right)=\frac{\tfrac{2}{1+\sqrt{1-k^2}}\operatorname{sn}\left(\tfrac{1+\sqrt{1-k^2}}{2}u,\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right)}{1+\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+\sqrt{1-k^2}}{2}u,\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right)}$
$\operatorname{cn}\left(u,k\right)=\frac{\operatorname{cn}\left(\tfrac{1+\sqrt{1-k^2}}{2}u,\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right)\operatorname{dn}\left(\tfrac{1+\sqrt{1-k^2}}{2}u,\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right)}{1+\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\operatorname{sn}^2\left(\tfrac{1+\sqrt{1-k^2}}{2}u,\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right)}$
$\operatorname{dn}\left(u,k\right)=\frac{\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}-\left(1-\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+\sqrt{1-k^2}}{2}u,\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right)\right)}{\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}+\left(1-\operatorname{dn}^2\left(\tfrac{1+\sqrt{1-k^2}}{2}u,\tfrac{1-\sqrt{1-k^2}}{1+\sqrt{1-k^2}}\right)\right)}$

当初の母数が $0 < k < 1$ であれば、上昇ランデン変換は母数を増加させ、下降ランデン変換は母数を減少させる。上昇ランデン変換を繰り返すことにより、母数が1に収束し、楕円関数は双曲線関数に近似される。下降ランデン変換を繰り返すことにより、母数が0に収束し、楕円関数は三角関数に近似される。この性質により、ランデン変換は楕円関数の数値計算に有用である。

[編集] テータ関数による表現

ヤコービの楕円関数はテータ関数の比として表される。 $\tau=iK(\sqrt{1-k^2})/K(k)$ とすれば

$\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\vartheta_3(0;\tau)\vartheta_1(u/2K;\tau)}{\vartheta_2(0;\tau)\vartheta_4(u/2K;\tau)}$
$\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\vartheta_4(0;\tau)\vartheta_2(u/2K;\tau)}{\vartheta_2(0;\tau)\vartheta_4(u/2K;\tau)}$
$\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\vartheta_4(0;\tau)\vartheta_3(u/2K;\tau)}{\vartheta_3(0;\tau)\vartheta_4(u/2K;\tau)}$

となる。これらの恒等式を証明するために極と零点の位置を突き合わせれば、リウヴィルの定理により、各々の両辺の関係が定数倍であることが分かり、

$\operatorname{sn}(K,k)=\frac{\vartheta_3(0;\tau)\vartheta_1(1/2;\tau)}{\vartheta_2(0;\tau)\vartheta_4(1/2;\tau)}=\frac{\vartheta_3(0;\tau)\vartheta_2(0;\tau)}{\vartheta_2(0;\tau)\vartheta_3(0;\tau)}=1$
$\operatorname{cn}(0,k)=\frac{\vartheta_4(0;\tau)\vartheta_2(0;\tau)}{\vartheta_2(0;\tau)\vartheta_4(0;\tau)}=1$
$\operatorname{dn}(0,k)=\frac{\vartheta_4(0;\tau)\vartheta_3(0;\tau)}{\vartheta_3(0;\tau)\vartheta_4(0;\tau)}=1$

により両辺が等倍であることが分かる。以下、慣例に従って $\vartheta_i=\vartheta_i(0,\tau)$ と書く。

$\operatorname{sn}^2(K+iK')=1/k^2$ より

$\begin{align} k^2&=\left(\frac{\vartheta_2\vartheta_4(1/2+\tau/2;\tau)}{\vartheta_3\vartheta_1(1/2+\tau/2;\tau)}\right)^2 &=\left(\frac{\vartheta_2\;e^{-\pi{i}\tau/4}e^{-\pi{i}v}\vartheta_2(0;\tau)}{\vartheta_3\;e^{-\pi{i}\tau/4}e^{-\pi{i}v}\vartheta_3(0;\tau)}\right)^2 &=\left(\frac{\vartheta_2}{\vartheta_3}\right)^4 \end{align}$

$\operatorname{dn}^2(K)=1-k^2$ より

$\begin{align} 1-k^2&=\left(\frac{\vartheta_4\vartheta_3(1/2;\tau)}{\vartheta_3\vartheta_4(1/2;\tau)}\right)^2 &=\left(\frac{\vartheta_4\vartheta_4(0;\tau)}{\vartheta_3\vartheta_3(0;\tau)}\right)^2 &=\left(\frac{\vartheta_4}{\vartheta_3}\right)^4 \end{align}$

$\vartheta_1=0$ 及び $\vartheta_1'=\pi\vartheta_2\vartheta_3\vartheta_4$ により

$\left[\operatorname{sn}'(u,k)\right]_{u=0}=\frac{\vartheta_3}{\vartheta_2}\cdot\frac{\vartheta_1'\vartheta_4/2K-\vartheta_1\vartheta_4'}{\vartheta_4^2}=\frac{\pi\vartheta_3^2}{2K}=1$

これにより $2K={\pi}\vartheta_3^2$ を得て

$\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\vartheta_3\vartheta_1(u/\pi\vartheta_3^2;\tau)}{\vartheta_2\vartheta_4(u/\pi\vartheta_3^2;\tau)}$
$\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\vartheta_4\vartheta_2(u/\pi\vartheta_3^2;\tau)}{\vartheta_2\vartheta_4(u/\pi\vartheta_3^2;\tau)}$
$\operatorname{dn}(u,k)=\frac{\vartheta_4\vartheta_3(u/\pi\vartheta_3^2;\tau)}{\vartheta_3\vartheta_4(u/\pi\vartheta_3^2;\tau)}$

となる。

[編集] 級数展開

ヤコービの楕円関数のマクローリン展開は以下のようになる。

$\operatorname{sn}\,u = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{S_{2n+1}}{(2n+1)!}u^{2n+1}$
$\operatorname{cn}\,u = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{C_{2n}}{(2n)!}u^{2n}$
$\operatorname{dn}\,u\, = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{D_{2n}}{(2n)!}u^{2n}$

ただし、

$S_1 = 1, S_3 = 1+k^2, S_5 = 1+14k^2+k^4, S_7 = 1+135k^2+135k^4+k^6,\ldots,$
$S_9 = 1+2668k^2+4038k^4+1228k^6+k^8,\ldots,$
$S_{11} = 1+75869k^2+165826k^4+101026k^6+11069k^8+k^{10},\ldots,$
$S_{13} = 1+3508122k^2+871499k^4+7577228k^6+246827k^8+99642k^{10}+k^{12},\ldots,$
$C_0 = 1, C_2 = 1, C_4 = 1+4k^2, C_6 = 1+44k^2+16k^4, C_8 = 1+408k^2+912k^4+64k^6, \ldots,$
$C_{10} = 1+3688k^2+30768k^4+15808k^6+256k^8,\ldots,$
$C_{12} = 1+33212k^2+870640k^4+1538560k^6+259328k^8+1024k^{10},\ldots,$
$D_0 = 1, D_2 = k^2, D_4 = 4k^2+k^4, D_6 = 16k^2+44k^4+k^6, D_8 = 64k^2+912k^4+408k^6+k^8,\ldots,$
$D_{10} = 256k^2+15808k^4+30768k^6+3688k^8+k^{10},\ldots,$
$D_{12} = 1024k^2+259328k^4+1538560k^6+870640k^8+33212k^{10}+k^{12},\ldots$

[編集] 雑多な恒等式

$k = 0$ の極限においてヤコービの楕円関数は初等的な三角関数になる。

$\operatorname{sn}(u,0)=\sin{u}$
$\operatorname{cn}(u,0)=\cos{u}$
$\operatorname{dn}(u,0)=1$

また、 $k = 1$ の極限においてヤコービの楕円関数は双曲線関数になる。

$\operatorname{sn}(u,1)=\tanh{u}$
$\operatorname{cn}(u,1)=\operatorname{sech}{u}$
$\operatorname{dn}(u,1)=\operatorname{cn}(u,1)=\operatorname{sech}{u}$

加法定理より直ちに二倍公式

$\operatorname{sn}(2x) = \frac{2\operatorname{sn}\,x\,\operatorname{cn}\,x\,\operatorname{dn}\,x}{1 - k^2\,\operatorname{sn}^4\,x}$
$\operatorname{cn}(2x) = \frac{\operatorname{cn}^2\,x - \operatorname{sn}^2\,x\,\operatorname{dn}^2\,x}{1 - k^2\,\operatorname{sn}^4\,x} = \frac{1 - 2\,\operatorname{sn}^2\,x + k^2\,\operatorname{sn}^4\,x}{1 - k^2\,\operatorname{sn}^4\,x}$
$\operatorname{dn}(2x) = \frac{\operatorname{dn}^2\,x - k^2\,\operatorname{sn}^2\,x\,\operatorname{cn}^2\,x}{1 - k^2\,\operatorname{sn}^4\,x} = \frac{1 - 2k^2\,\operatorname{sn}^2x + k^2\,\operatorname{sn}^4\,x}{1 - k^2\,\operatorname{sn}^4\,x}$

が得られる。三角関数の半角公式に相当するものは

$\operatorname{sn}^2\,x = \frac{1 - \operatorname{cn}(2x)}{1 + \operatorname{dn}(2x)}$
$\operatorname{cn}^2\,x = \frac{\operatorname{cn}(2x) + \operatorname{dn}(2x)}{1 + \operatorname{dn}(2x)}$
$\operatorname{dn}^2\,x = \operatorname{cn}^2\,x \frac{1 - k^2\,\operatorname{sn}^2\,x}{1 - \operatorname{sn}^2\,x} =\operatorname{cn}^2\,x \frac{1 + \operatorname{dn}(2x)}{1 + \operatorname{cn}(2x)} =\frac{\operatorname{cn}(2x) + \operatorname{dn}(2x)}{1 + \operatorname{cn}(2x)}$

である。

[編集] ワイエルシュトラスの楕円関数

ワイエルシュトラスのペー関数は次式

$\wp(z;\omega_1,\omega_2)=z^{-2}+{\sum_{m,n}}'\left[(z-\Omega_{m,n})^{-2}-\Omega_{m,n}^{-2}\right]$

によって定義される楕円関数である。ここで、Ω_mn = 2mω₁ + 2nω₂ と置いた。右辺の和は m = n = 0 を除く全て整数の対についての和である。ω₁, ω₂ は二分周期（half-period）と呼ばれる。文献によっては ω が係数2を含むこともある。

この関数は周期 2ω₁, 2ω₂ を持つ。また、原点と合同な点に二位の極を持つ。よって、これは位数2の楕円関数である。（位数1の楕円関数は存在しないので、ワイエルシュトラスの楕円関数はヤコービの楕円関数と並んで最も簡単な楕円関数であるといえる。ワイエルシュトラスの楕円関数は一個の二位の極を持ち、ヤコービの楕円関数は二個の一位の極を持つ。楕円関数一般の性質として留数の合計は0になるが、一位の極の留数は0に成りえない。従って、楕円関数は二個以上の極を持って留数を打ち消すか、留数が二位以上の極を持つしかない。）

ペー関数の満たす微分方程式は

$y = \wp(z+\alpha) \iff (y')^2 = 4y^3 - g_2y + g_3$

である。ただし

$g_2=60\Omega_{mn}^{-4},\quad g_3=140\Omega_{mn}^{-6}$

である。

[編集] 歴史

楕円関数という用語はルジャンドルによって第一種、第二種、第三種という三つの楕円関数の分類が与えられたときに始めて使用された。歴史的には、楕円関数の研究は、十八世紀、楕円とレムニスケート（連珠形）の弧長の研究から始まり、オイラー、ガウスによって楕円積分と楕円関数へと進んでいった。当初よりレムニスケートは楕円関数と呼ばれていたものではなく、円（三角関数）に似た加法公式がレムニスケートでも成り立つことから、ガウスはレムニスケートの弧長の逆関数を考えた。そして、楕円関数の最も顕著な特徴が二重周期性であったことから、二重周期を持つ関数を遍く楕円関数と呼ぶようになった。レムニスケートの弧長の逆関数をガウスのレムニスケート関数と呼ぶ。その性質から、レムニスケート関数も楕円関数と呼ぶようになった。また、レムニスケート関数は四次式の平方根の積分の逆関数である。四次式の平方根の積分は楕円弧の求長問題にも現れるが、当時の数学の中心課題であった。そのため、四次式の平方根の積分を楕円積分と呼び、その逆関数を楕円関数と呼ぶようになった。ただし、楕円積分の逆関数は必ずしも二重周期を持つ楕円関数にならない。楕円関数の名の起こりは楕円積分の逆関数といわれることが多い。レムニスケートの研究も楕円関数の研究と深く結びついているが、レムニスケートだけに限定することはできない。このほかにも、サイクロイド、双曲線などの弧長も第二種楕円積分によって表すことができる。

最終更新 2009年10月4日 (日) 07:16 （日時は個人設定で未設定ならばUTC）。
【楕円関数】変更履歴

楕円関数

目次

[編集] 定義

[編集] 楕円関数の位数

[編集] ヤコービの楕円関数

[編集] 定義

[編集] 基本関係式

[編集] 周期と零と極

[編集] 微分方程式

[編集] 加法定理

[編集] ランデン変換

[編集] テータ関数による表現

[編集] 級数展開

[編集] 雑多な恒等式

[編集] ワイエルシュトラスの楕円関数

[編集] 歴史

[編集] 関連項目

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